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Bemerkung 4.52
Die diskrete Fouriertransformation erfüllt folgende Symmetrierelation:
n
=
0
u
n
exp
−
N
n
=
0
u
n
exp
−
N
−
1
N
−
1
1
N
2
π
i
nk
1
N
2
π
i
n
(
N
−
k
)
=
u
N−k
.
=
=
u
k
N
=
Ist
u
reell, so gilt also
u
N−k
. Das heißt, dass die Fouriertransformierte redun-
dante Daten enthält - im Fall von geradem
N
reicht die Kenntnis von
u
k
u
k
für
k
=
−
=
(
−
)
0, . . . ,
N
/2
/2 zu
kennen. Es wird also im Falle von reellen Signalen mehr als nötig berechnet. Diese un-
nötigen Berechnungen können durch die diskrete Kosinustransformationen (discrete
cosine transform, DCT) behoben werden. Mit
1, im Falle von ungeradem
N
genügt es,
u
k
für
k
0,...,
N
1
1/
√
2
=
falls
k
0
λ
k
=
1
sonst
R
N
ist für ein reelles Signal
u
∈
n
=0
u
n
cos
k
N
(
n
+
.
N
−
1
2
λ
k
N
1
2
(
)
k
=
)
DCT
u
Die DCT ist eine orthogonale Transformation und es gilt die Umkehrformel
)
k
cos
k
N
(
.
N
−
1
k
=0
1
2
=
(
(
))
n
=
λ
n
(
+
)
u
n
IDCT
DCT
u
DCT
u
n
Die DCT kann ebenso wie die diskrete Fouriertransformation mit dem Aufwand
O
(
berechnet werden. Es gibt noch drei weitere Varianten der diskreten Kosi-
nustransformation, siehe dazu zum Beispiel [98].
N
log
2
N
)
Anwendungsbeispiel 4.53
(Kompression mit der DCT - JPEG)
Die diskrete Kosinustransformation ist eine Grundlage des JPEG Kompressionsstan-
dards. JPEG liegt die sogenannte Transformationskodierung zu Grunde. Hierbei wird
das Bild in eine andere Darstellung transformiert, die sich besser zur Kompression
durch Quantisierung eignet. Man beobachtet, dass die diskrete Kosinustransformation
eines Bildes typischerweise viele kleine Koeffizienten hat welche meist zu den hohen
Frequenzen gehören. Dazu kommt die physiologische Beobachtung, dass das Auge bei
höheren Frequenzen Grauwertvariationen schlechter wahrnimmt. Dies, zusammen mit
weiteren Techniken, bildet die Grundlage des JPEG Standards. Dieser besteht für Grau-
wertbilder aus den folgenden Schritten:
•
Einteilung des Bildes in 8
×
8-Blöcke und diskrete Kosinustransformation dieser
Blöcke.
•
Quantisierung (verlustbehaftet) der transformierten Werte.
•
Umsortierung der quantisierten Werte.
