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Beispiel 4.50
Wir betrachten den Mittelwertfilter
M
3
=[
111
]
/3 aus Abschnitt 3.3.3. Die Transfer-
funktion ist
exp
N
1
∑
1
3
N
2
π
i
nk
M
3
k
=
−
n
=
−
1
1
N
exp
2
N
exp
1
3
N
π
i
k
2
π
i
k
=
+
+
−
1
N
.
2 cos
2
1
3
N
π
k
=
+
•
Die Transferfunktion ist für
k
≈±
N
/3 fast 0, d.h. die zugehörigen Frequenzen
verschwinden aus dem Signal.
≈
•
Die Transferfunktion hat für
k
N
/2 negative Werte, d.h. die zugehörigen Fre-
quenzen ändern ihr Vorzeichen.
M
3
1
N
2
2
−
k
3
N
−
Wir betrachten den Binomialfilter
B
2
=[
121
]
/4. Die Transferfunktion ist
2
N
exp
2
N
exp
1
4
N
π
ik
2
π
ik
B
2
k
=
+
+
−
2
N
.
2 cos
2
1
4
N
π
k
=
+
Die Transferfunktion dieses Filters ist überall nicht-negativ, es werden also keine Fre-
quenzen „umgedreht“.
B
2
1
N
k
1
4
N
−
N
2
N
2
−
In diesem Licht erscheinen die Sobel-Filter sinnvoller als die Prewitt-Filter.
Bemerkung 4.51
(Die schnelle Fouriertransformation und die schnelle Faltung)
Die diskrete Fouriertransformation benötigt bei direktem Auswerten der Summen
O
(
N
2
)
Operationen. Durch Ausnutzung von Symmetrien kann der Aufwand beträcht-
lich auf
gesenkt werden, siehe zum Beispiel [134, 98]. Dies kann mit Hilfe
des Faltungssatzes für eine schnelle Faltung eingesetzt werden, siehe Aufgaben 4.11
und 4.12.
O
(
N
log
2
N
)
