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Beweis.
Die Orthogonalitätsrelation der Vektoren
b
n
ist elementar nachzurechnen. Ins-
besondere ist damit die Matrix
B
orthogonal und es gilt
B
∗
B
=
N
id und damit folgt
B
−
1
N
B
∗
. Also gilt
1
=
NB
−
1
B
∗
u
=
u
=
u
.
Für die adjungierte Matrix
B
∗
gilt
exp
2
N
π
i
kl
B
∗
)
k
,
l
=
(
und insbesondere ist
b
0
...
b
N−
1
.
B
∗
=
Anders ausgedrückt: Die diskrete Fouriertransformation drückt einen Vektor
u
in
der Orthogonalbasis
(
b
k
)
k
=0,...,
N−
1
u
k
b
k
. Auch im diskreten Fall bezeichnen wir die Umkehrung der Fou-
riertransformation mit
u
. Die Verallgemeinerung auf zweidimensionale Bilder ist ein-
fach:
=
∑
k
aus d.h.
u
Bemerkung 4.45
(Zweidimensionale diskrete Fouriertransformation)
Die zweidimensionale diskrete Fouriertransformation von
u
C
N
×
M
ist
C
N
×
M
,
∈
u
∈
definiert durch
n
=0
u
n
,
m
exp
−
2
π
i
nk
exp
−
−
−
M
1
m
=0
N
1
1
MN
2
i
ml
M
π
u
k
,
l
=
N
und wird invertiert durch
l
=0
u
k
,
l
exp
2
π
i
nk
N
exp
2
M
.
−
−
N
1
k
=0
M
1
π
i
ml
u
n
,
m
=
Bemerkung 4.46
(Periodizität der diskreten Fouriertransformation)
Die Vektoren
b
n
kann man auch als
N
-periodisch ansehen, d.h. es gilt
exp
2
exp
2
N
(
+
)
π
i
n
k
N
π
i
nk
b
k
+
N
=
b
k
.
=
=
N
Außerdem gilt auch
b
n
+
N
b
n
. Mit anderen Worten: Für die diskrete Fouriertransfor-
mation sind alle Signale
N
-periodisch, denn es gilt
=
u
k
+
N
=
u
k
.
Diese Beobachtung ist wichtig für die Interpretation der Fourier-Koeffizienten. Die Ba-
sisvektoren
b
N−n
entsprechen den Vektoren
b
−n
, das heißt, dass die Einträge
u
N−k
mit