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Beweis. Die Orthogonalitätsrelation der Vektoren b n ist elementar nachzurechnen. Ins-
besondere ist damit die Matrix B orthogonal und es gilt B B
=
N id und damit folgt
B 1
N B . Also gilt
1
=
NB 1
B
u
=
u
=
u .
Für die adjungierte Matrix B gilt
exp 2
N
π
i kl
B ) k , l =
(
und insbesondere ist
b 0
... b N− 1 .
B =
Anders ausgedrückt: Die diskrete Fouriertransformation drückt einen Vektor u in
der Orthogonalbasis
(
b k
) k =0,..., N− 1
u k b k . Auch im diskreten Fall bezeichnen wir die Umkehrung der Fou-
riertransformation mit u . Die Verallgemeinerung auf zweidimensionale Bilder ist ein-
fach:
= k
aus d.h. u
Bemerkung 4.45 (Zweidimensionale diskrete Fouriertransformation)
Die zweidimensionale diskrete Fouriertransformation von u
C N × M ist
C N × M ,
u
definiert durch
n =0 u n , m exp 2 π i nk
exp
M
1
m =0
N
1
1
MN
2
i ml
M
π
u k , l =
N
und wird invertiert durch
l =0 u k , l exp 2 π i nk
N exp 2
M .
N
1
k =0
M
1
π
i ml
u n , m
=
Bemerkung 4.46 (Periodizität der diskreten Fouriertransformation)
Die Vektoren b n kann man auch als N -periodisch ansehen, d.h. es gilt
exp 2
exp 2
N
(
+
)
π
i n
k
N
π
i nk
b k + N =
b k .
=
=
N
Außerdem gilt auch b n + N
b n . Mit anderen Worten: Für die diskrete Fouriertransfor-
mation sind alle Signale N -periodisch, denn es gilt
=
u k + N =
u k .
Diese Beobachtung ist wichtig für die Interpretation der Fourier-Koeffizienten. Die Ba-
sisvektoren b N−n entsprechen den Vektoren b −n , das heißt, dass die Einträge
u N−k mit
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