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( ξ 1 ,
ξ 2 )
B
B
( ξ 1 ,
ξ 2
)
2 B
Beispiel 4.42 (Unterabtasten, Verhindern des Alias-Effektes)
Haben wir ein diskretes Bild u d
= ∑ k Z 2 u k δ k gegeben und wollen die Größe um den
N verringern, so liefert das u l d = ∑ k Z u lk δ lk . Auch bei dieser Unterabtastung
erhalten wir wieder einen Alias-Effekt, siehe Abbildung 3.1. Um diesen zu verhindern,
sollte vor der Unterabtastung ein Tiefpassfilter h angewendet werden, um die Frequen-
zen zu eliminieren, die durch den Alias-Effekt als falsche Frequenzen rekonstruiert wer-
den. Es bietet sich an, diesen Filter als perfekten Tiefpass mit der Breite
Faktor l
π
/ l zu wählen,
d.h. h
= χ [ −π / l , π / l ]
2 . Dies verhindert den Alias-Effekt, siehe Abbildung 4.8.
4.3 Diskrete Fouriertransformation
Zur numerischen Umsetzung von Frequenzmethoden benötigen wir die diskrete Fou-
riertransformation. Auch hier benutzen wir vorerst eindimensionale diskrete Bilder und
erhalten die höherdimensionale Version später als Tensorprodukt. Wir betrachten also
u :
{
0,..., N
1
}→
C .
Diese Bilder bilden den N -dimensionalen Vektorraum C N welcher mit dem Skalarpro-
dukt
N
n =0 u n v n
(
u , v
)=
zum Hilbert-Raum wird.
Definition 4.43
Die eindimensionale diskrete Fouriertransformation von u
C N ist
C N , definiert
u
durch
n = 0 u n exp 2 π i nk
.
N
1
1
N
u k =
N
 
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