Image Processing Reference
In-Depth Information
(
ξ
1
,
ξ
2
)
B
B
(
ξ
1
,
ξ
2
−
)
2
B
Beispiel 4.42
(Unterabtasten, Verhindern des Alias-Effektes)
Haben wir ein diskretes Bild
u
d
= ∑
k
∈
Z
2
u
k
δ
k
gegeben und wollen die Größe um den
N
verringern, so liefert das
u
l
d
= ∑
k
∈
Z
u
lk
δ
lk
. Auch bei dieser Unterabtastung
erhalten wir wieder einen Alias-Effekt, siehe Abbildung 3.1. Um diesen zu verhindern,
sollte vor der Unterabtastung ein Tiefpassfilter
h
angewendet werden, um die Frequen-
zen zu eliminieren, die durch den Alias-Effekt als falsche Frequenzen rekonstruiert wer-
den. Es bietet sich an, diesen Filter als
perfekten Tiefpass
mit der Breite
Faktor
l
∈
π
/
l
zu wählen,
d.h.
h
=
χ
[
−π
/
l
,
π
/
l
]
2
. Dies verhindert den Alias-Effekt, siehe Abbildung 4.8.
4.3 Diskrete Fouriertransformation
Zur numerischen Umsetzung von Frequenzmethoden benötigen wir die diskrete Fou-
riertransformation. Auch hier benutzen wir vorerst eindimensionale diskrete Bilder und
erhalten die höherdimensionale Version später als Tensorprodukt. Wir betrachten also
u
:
{
0,...,
N
−
1
}→
C
.
Diese Bilder bilden den
N
-dimensionalen Vektorraum
C
N
welcher mit dem Skalarpro-
dukt
N
n
=0
u
n
v
n
(
u
,
v
)=
zum Hilbert-Raum wird.
Definition 4.43
Die eindimensionale
diskrete Fouriertransformation
von
u
C
N
ist
C
N
, definiert
∈
u
∈
durch
n
=
0
u
n
exp
−
2
π
i
nk
.
N
−
1
1
N
u
k
=
N