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< ξ
0
<
Unterabtasten:
Nehmen wir eine zu kleine Bandbreite
B
3
B
an, so tasten wir
das Signal zu langsam ab. Von den Termen der Reihe liegen wieder genau zwei
im Intervall
[
−
]
B
,
B
, nämlich
δ
ξ
0
−
2
B
und
δ
−ξ
0
+2
B
. Das heißt, es gilt
2
(
δ
ξ
0
−
2
B
+
δ
−
(
ξ
0
−
2
B
)
)
u
d
B
π
χ
[
−
B
,
B
]
=
.
Wir rekonstruieren also das Signal
u
rek
(
x
)=
cos
((
ξ
0
−
2
B
)
x
)
.
Die Rekonstruktion ist wieder eine harmonische Schwingung, aber mit einer an-
deren Frequenz.
Durch Unterabtasten werden hohe Frequenzen
ξ
0
durch niedrige Frequenzen in
[
−
]
dargestellt. Zur Übung können Sie die beobachtete Frequenz bei Unterab-
tastung in Abbildung 4.5 ausrechnen.
B
,
B
Bemerkung 4.41
(Abtasten in 2D)
Eine einfache Verallgemeinerung des Abtasttheorems und der Erklärung des Alias-
Effekts in zwei Dimensionen erhalten wir durch Bildung des Tensorproduktes: Es sei
u
:
R
2
→
C
so, dass die Fouriertransformation
u
ihren Träger in Rechteck
[
−
B
1
,
B
1
]
×
[
−
]
(
)
B
2
,
B
2
hat. In diesem Fall ist
u
durch die Werte
u
k
1
π
/
B
1
,
k
2
π
/
B
2
bestimmt und es
gilt die Formel
u
k
1
π
B
1
B
2
sinc
B
1
)
sinc
B
2
)
.
,
k
2
π
k
1
π
B
1
k
2
π
B
2
)=
∑
k
(
π
(
−
π
(
−
u
x
1
,
x
2
x
1
x
2
∈
Z
2
Ein diskret auf einem Rechteckgitter mit den Abtastraten
T
1
und
T
2
abgetastetes Bild
schreiben wir als
=
∑
k
(
)
δ
(
k
1
T
1
,
k
2
T
2
)
u
d
u
k
1
T
1
,
k
2
T
2
.
∈
Z
2
Der Zusammenhang mit dem kontinuierlichen Bild
u
schreibt sich mit der Fouriertrans-
formation
B
1
B
2
π
∑
u
d
(
ξ
)=
Z
2
u
(
ξ
1
+
2
B
1
k
1
,
ξ
2
+
2
B
2
k
2
)
.
2
k
∈
Auch hier tritt der Alias-Effekt auf, falls das Bild nicht bandbeschränkt ist oder zu nied-
rig abgetastet wurde. Zusätzlich zur Änderung der Frequenz tritt hier auch eine Ände-
rung der Richtung auf:
