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(
ξ
)
(
)
u
u
x
ξ
x
−
B
B
u
d
(
ξ
)
(
)
u
d
x
ξ
x
−
3
B
−
B
B
3
B
B
(
B
x
χ
[
−B
,
B
]
(
ξ
)
)
sinc
ξ
x
−
−
B
B
B
B
5
B
3
B
3
B
5
B
−
−
(
B
·
)(
u
d
(
ξ
)
χ
[
−
B
,
B
]
(
ξ
)
u
d
∗
sinc
x
)
ξ
x
−
B
B
Abbildung 4.7.
Illustration des Alias-Effektes. Erste Zeile: Ein Signal
u
und seine Fouriertransformation. Zwei-
te Zeile: Abtasten der Funktion macht die Fouriertransformierte periodisch und produziert einen Über-
lapp. Dritte Zeile: Der sinc-Faltungskern und seine Fouriertransformation. Vierte Zeile: Falten mit der sinc-
Funktion rekonstruiert ein Signal, in dem die hochfrequenten Anteile durch niedrige Frequenzen dargestellt
werden.
Das Rekonstruieren nach dem Abtasttheorem 4.35 bedeutet, den Träger von
u
d
auf das
Intervall
einzuschränken. Um zu verstehen, was das für das Signal bedeutet,
müssen wir untersuchen, wie sich dieses Einschränken auf die Reihe auswirkt.
[
−
B
,
B
]
Überabtasten:
Nehmen wir eine zu große Bandbreite
B
>
ξ
0
an, tasten wir das Signal
zu schnell ab. Von den Termen in der Reihe für
u
d
liegen genau diejenigen mit
k
=
0 im Intervall
[
−
B
,
B
]
. Es gilt
=
B
2
k∈
Z
(
δ
ξ
0
−
2
kB
+
δ
−ξ
0
−
2
kB
)
B
u
d
π
χ
[
−B
,
B
]
2
(
δ
ξ
0
+
δ
−ξ
0
)=
u
.
=
Das heißt,
u
d
=
u
und wir rekonstruieren das Signal perfekt.
