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(
ξ
)
(
)
u
u
x
ξ
x
−
B
B
u
d
(
ξ
)
(
)
u
d
x
ξ
x
−
3
B
−
B
B
3
B
B
(
B
x
χ
[
−B
,
B
]
(
ξ
)
)
sinc
ξ
x
−
−
B
B
B
B
5
B
3
B
3
B
5
B
−
−
(
B
·
)(
u
d
(
ξ
)
χ
[
−
B
,
B
]
(
ξ
)
u
d
∗
sinc
x
)
ξ
x
−
B
B
Abbildung 4.6.
Rekonstruktion eines diskretisierten Signals mit der Rekonstruktionsformel aus dem Abtast-
theorem. Erste Zeile: Ein Signal
u
und seine Fouriertransformation. Zweite Zeile: Abtasten der Funktion
macht die Fouriertransformierte periodisch. Dritte Zeile: Der sinc-Faltungskern und seine Fouriertransfor-
mation. Vierte Zeile: Falten mit der sinc-Funktion rekonstruiert das Signal perfekt.
Beispiel 4.40
(Abtasten von harmonischen Schwingungen)
Wir betrachten eine harmonische Schwingung
e
i
ξ
0
x
e
−
i
ξ
0
x
+
u
(
x
)=
cos
(
ξ
0
x
)=
.
2
Die Fouriertransformation ist
2
(
δ
ξ
0
+
δ
−
ξ
0
)
u
=
.
Das Signal hat also formal die Bandbreite
ξ
0
. Wenn wir eine andere Bandbreite
B
an-
nehmen und das Signal entsprechend mit der Rate
π
/
B
abtasten, erhalten wir auf der
Fourier-Seite
u
d
=
B
2
k∈
Z
(
δ
ξ
0
−
2
kB
+
δ
−
ξ
0
−
2
kB
)