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Beweis.
Der Sobolew-Raum
H
k
R
d
besteht aus den
L
2
R
d
(
)
(
)
-Funktionen, so dass die ent-
2
k
,2
= ∑
|α|≤k
∂
α
u
2
2
sprechende Norm
u
endlich ist. Mit Hilfe der Plancherel-Formel
wird daraus
k
∂
α
u
2
k
,2
=
∑
|α|≤
2
2
u
R
d
|
ξ
α
2
d
=
∑
|
α
|≤
u
(
ξ
)
|
ξ
k
|α|≤k
|
ξ
α
|
∑
2
2
d
=
|
u
(
ξ
)
|
ξ
R
d
Die behauptete Äquivalenz folgt nun aus der Tatsache, dass die Funktionen
h
(
ξ
)=
∑
|α|≤k
|ξ
α
|
k
vergleichbar sind, das heißt, sie lassen sich durch
Konstanten, die von
k
und
d
abhängen gegeneinander abschätzen, siehe Aufgabe 4.9.
Dies zeigt insbesondere, dass
R
d
(
2
2
(
ξ
)=(
+
|ξ|
)
und
g
1
ξ
1/2
2
k
2
d
1
+
|
ξ
|
)
|
u
(
ξ
)
|
eine äquivalente Norm auf
H
k
R
d
(
)
ist.
Anders ausgedrückt: Die Sobolew-Räume
H
k
R
d
(
)
sind Fouriertransformierte des
gewichteten Lebesgue-Raumes
L
2
(1+
|·|
R
d
(
)
.
2
)
k
L
d
Beispiel 4.30
Grob gesprochen kann man sagen, dass sich (schwache) Differenzierbarkeit einer Funk-
tion in schnellem Abfall der Fouriertransformierten bei unendlich widerspiegelt. Man
betrachte hierzu zum Beispiel die Fouriertransformierten der
L
2
(
)
-Funktionen
R
u
(
x
)=
χ
[
−
1,1
]
(
x
)
,
x
2
(
)=
(
−
)
v
x
exp
x
2
)
−
1
w
(
x
)=(
1
+
aus Abbildung 4.4. Die Fouriertransformation von
u
hat ein asymptotisches Abfallver-
halten wie
|
ξ
|
−
1
2
bei unendlich; insbesondere ist die Funktion
ξ
→|
ξ
|
u
(
ξ
)
nicht in
L
2
(
)
. Für
v
und
w
hingegen fallen die Fouriertransformierten exponentiell (verglei-
che Aufgabe 4.4); insbesondere ist
R
k
N
eine
L
2
-Funktion
(ebenso für
w
). Andersherum spiegelt sich das langsame Abfallen von
w
in einer Nicht-
Differenzierbarkeit von
ξ
→|
ξ
|
v
(
ξ
)
für jedes
k
∈
(
R
)
w
wider.
Der Zusammenhang von Glattheit und Abfallverhalten ist von fundamentaler Be-
deutung für die Bildverarbeitung: Bilder mit Unstetigkeiten haben niemals eine schnell
abfallende Fouriertransformierte. Dies zeigt noch einmal, dass beim Filtern mit Tief-
passfiltern (siehe Beispiel 4.19) Kanten notwendigerweise geglättet und damit unscharf
werden.
Man nimmt die Äquivalenz aus Satz 4.29 zum Anlass, die Sobolew-Räume auch für
beliebige Glattheit
s
∈
R
zu definieren:
