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Beweis.
Wir rechnen „distributionell“ und zeigen die Gleichung
T
u∗v
=
T
(
v
:
d
/2
2
π
)
u
)(
ξ
)
φ
(
ξ
)
d
y φ
(
ξ
)
R
d
(
∗
ξ
=
(
)
(
ξ −
)
u
v
d
R
d
u
y
v
y
d
ξ
R
d
)
φ
(
ξ
)
=
R
d
u
(
y
)
R
d
v
(
ξ
−
y
d
ξ
d
y
1
e
−
i
ξ
·
x
d
x
d
=
(
)
(
ξ −
)
φ
(
ξ
)
R
d
u
y
R
d
v
y
ξ
d
y
(
π
)
d
/2
2
R
d
e
−
i
y·x
=
(
)
(
)
φ
(
)
R
d
u
y
R
d
v
x
x
d
x
d
y
d
/2
=
R
d
(
2
π
)
u
(
x
)
v
(
x
)
φ
(
x
)
d
x
.
Die Rechenregeln für Fouriertransformierte und Ableitungen aus Lemma 4.13 gelten
analog für schwache Ableitungen:
Lemma 4.28
Es seien u
L
2
R
d
N
d
, so dass die schwache Ableitung
∂
α
u ebenfalls in L
2
R
d
∈
(
)
α ∈
(
)
und
liegt. Dann gilt
F
(
∂
α
u
i
|α|
p
α
F
(
)=
u
)
.
Ist p
α
u
L
2
R
d
∈
(
)
, so gilt
p
α
u
i
|α|
∂
α
F
(
F
(
)=
)
u
.
Beweis.
Auch hier zeigen wir die Gleichung im Distributionensinn. Wir benutzen par-
tielle Integration, Lemma 4.13 und die Plancherel-Formel (4.2) und erhalten für eine
Schwartzfunktion
φ
T
R
d
∂
α
u
(
φ
)=
)
φ
(
(
φ
)=
T
(
x
x
)
d
x
∂
α
u
∂
α
u
)
|
α
|
)
∂
α
φ
(
=(
−
(
)
1
R
d
u
x
x
d
x
)
|α|
)(
−
i
|α|
p
α
φ
)(
=(
−
1
R
d
u
(
x
x
)
d
x
)
|
α
|
i
|
α
|
p
α
(
=(
−
R
d
(
)(
−
)
φ
(
))
=
T
i
|α|
p
α
u
(
φ
)
1
u
x
x
x
d
x
.
Die zweite Behauptung sollten Sie als Aufgabe 4.8 bearbeiten.
Dieses Lemma liefert folgende Charakterisierung der Sobolew-Räume
H
k
R
d
(
)
.
Satz 4.29
Für k
∈
N
gilt
H
k
R
d
2
k
2
d
∈
(
)
⇐⇒
R
d
(
+
|ξ|
)
|
(
ξ
)
|
ξ <
∞
u
1
u
.
