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Definition 4.24
Die Fouriertransformierte von
T
)
∗
ist definiert durch
R
d
∈S
(
T
(
φ
)
(
φ
)=
T
.
Analog ist die inverse Fouriertransformierte von
T
gegeben durch
T
(
φ
)=
(
φ
)
T
.
Wir halten fest:
Satz 4.25
Die Fouriertransformation T
→ T als Abbildung des Raumes der temperierten Distributionen
in sich ist bijektiv und wird durch T
T invertiert.
→
Da Radon-Maße nach dem Riesz-Markowschen Darstellungssatz 2.62 Elemente des
Dualraumes der stetigen Funktionen sind, sind sie insbesondere auch temperierte Dis-
tributionen. Wir haben also mit Definition 4.24 auch eine Fouriertransformation für
Radon-Maße definiert.
Beispiel 4.26
Die zum Dirac-Maß
δ
x
aus Beispiel 2.38 gehörige Distribution ist die
Delta-Distribution
,
ebenfalls mit
δ
x
bezeichnet:
(
φ
)=
=
φ
(
)
δ
x
R
d
φ
d
δ
x
x
.
Ihre Fouriertransformation ist
1
δ
x
(
φ
)=
δ
x
(
φ
)=
φ
(
d
/2
e
−
i
x·y
x
)=
φ
(
y
)
d
y
.
(
2
π
)
R
d
Die Fouriertransformation von
δ
x
ist also regulär und dargestellt durch die Funkti-
1
d
/2
e
−
i
x
·
y
. Insbesondere ist die Fouriertransformation von
on
y
→
δ
0
die konstante
(
2
π
)
d
/2
.
(
π
)
Funktion 1/
2
Das Rechnen mit temperierten Distributionen im Kontext der Fouriertransformation
stellt meist keine große Schwierigkeit dar. Wir illustrieren dies am Beispiel des Faltungs-
satzes auf
L
2
R
d
(
)
:
Satz 4.27
Für u
,
v
L
2
R
d
∈
(
)
gilt für fast alle
ξ
, dass
d
/2
u
∗
v
(
ξ
)=(
2
π
)
u
(
ξ
)
v
(
ξ
)
.
