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Beispiel 4.18
(Frequenzdarstellung einer Funktion)
Für
u
L
2
R
d
∈
(
)
haben wir nach der Umkehrformel
1
e
i
x·ξ
d
u
(
x
)=
R
d
u
(
ξ
)
ξ
.
(
2
π
)
d
/2
Man kann also in gewissem Sinne sagen, dass sich
u
als Überlagerung von komplexen
Exponentialfunktionen schreiben lässt und dass weiterhin
(
ξ
)
u
angibt, wie sehr die zu-
e
i
x
·
ξ
gehörige Exponentialfunktion
x
u
auch die
Frequenzdarstellung
von
u
(in diesem Zusammenhang nennt man
u
selbst auch
Raumdarstellung
oder für
d
→
zu
u
beiträgt. Aus diesem Grund nennt man
=
1 auch
Zeitdarstellung
).
Der Faltungssatz ermöglicht nun eine neue Interpretation der linearen Filter aus Ab-
schnitt 3.3:
Beispiel 4.19
(Interpretation von linearen Filtern in der Frequenzdarstellung)
Für eine Funktion
u
L
2
R
d
L
2
R
d
∈
(
)
∈
(
)
und einen Faltungskern
h
gilt
d
/2
F
(
∗
)=(
π
)
F
(
)
F
(
)
u
h
2
u
h
.
Das heißt, die Fouriertransformation von
h
gibt an, wie die Frequenzanteile von
u
ge-
dämpft, verstärkt und moduliert werden. Man nennt
h
in diesem Zusammenhang auch
Transferfunktion
. Einen Faltungskern
h
, dessen Transferfunktion
h
(
ξ
)
Null
ist (oder kleine Werte annimmt) nennt man
Tiefpassfilter
, da er tiefe Frequenzen passie-
ren lässt. Analog bezeichnet man
h
als
Hochpassfilter
, wenn
h
für große
ξ
(
ξ
)
Null (oder
klein) ist. Da Rauschen viele hochfrequente Anteile enthält, kann man versuchen, Rau-
schen durch einen Tiefpassfilter zu reduzieren. Für die Bildverarbeitung ist es hier ein
Nachteil, dass auch Kanten viele hochfrequente Anteile haben. Ein Tiefpassfilter ver-
wischt also notwendigerweise auch die Kanten. Es zeigt sich, dass kantenerhaltendes
Entrauschen nicht mit linearen Filtern bewerkstelligt werden kann, siehe auch Abbil-
dung 4.1.
für kleine
ξ
Beispiel 4.20
(Bildzerlegung in hoch- und tieffrequente Anteile)
Mit Hilfe von Hoch- und Tiefpassfiltern können wir ein gegebenes Bild in seine hoch-
und tieffrequenten Anteile zerlegen. Dazu sei
h
der sogenannte
perfekte Tiefpassfilter
, d.h.
die Fouriertransformierte von
h
ist
1
h
=
d
/2
χ
B
r
(
0
)
(
2
π
)
zu einem Radius
r
>
0. Der tief- bzw. hochfrequente Anteil eines Bildes
u
sind dann
u
low
u
high
u
low
.
=
u
∗
h
,
=
u
−
Insbesondere gilt
u
high
h
d
/2
=
(
−
(
π
)
)=
· χ
{|ξ|>r}
u
1
2
u
.
