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Grob gesprochen kann man sagen, dass der Schwartz-Raum glatte Funktionen ent-
hält, die schneller gegen Null gehen, als Polynome gegen unendlich gehen. Es lässt sich
elementar prüfen, dass der Schwartz-Raum ein Vektorraum ist. Um ihn für analytische
Methoden zugänglich zu machen, statten wir ihn mit einer Topologie aus. Wir beschrei-
ben die Topologie in dem wir einen Konvergenzbegriff für Folgen von Funktionen de-
finieren.
Definition 4.10
Eine Folge
(
)
u
n
im Schwartz-Raum konvergiert gegen
u
genau dann, wenn für alle Mul-
tiindizes
α
,
β
gilt
C
β
(
u
n
−
u
)
→
0
für
n
→
∞
.
α
,
Die Konvergenz im Schwartz-Raum ist sehr restriktiv: Eine Funktionenfolge konver-
giert, wenn sie und alle ihre Ableitungen multipliziert mit beliebigen Monomen gleich-
mäßig konvergieren.
Bemerkung 4.11
Für unsere Zwecke ist die Beschreibung der Topologie
R
d
S
(
)
durch Folgenkonvergenz
ausreichend. Es sei bemerkt, dass die Funktionale
C
sogenannte Halbnormen auf dem
Schwartz-Raum bilden und ihn damit zu einem metrisierbaren, lokal-konvexen Raum
machen, siehe zum Beispiel [145].
α
,
β
Lemma 4.12
Der Schwartz-Raum ist nichtleer und abgeschlossen bezüglich Ableitungen beliebiger Ordnung
sowie punktweiser Multiplikation.
R
d
2
Beweis.
Ein Beispiel für eine Funktion in
S
(
)
ist
u
(
x
)=
exp
(
−|
x
|
)
wie sich elemen-
tar zeigen lässt.
Ist
u
R
d
∈S
(
)
, so gilt für jeden Multiindex
γ
β
(
∂
γ
C
u
)=
C
β
+
γ
(
u
)
<
∞
α
,
α
,
x
γ
∂
∂
γ
∂
R
d
∈S
(
)
und daher
u
.
x
γ
R
d
∈S
(
)
auch das Produkt
uv
im Schwartz-Raum liegt, zeigt die Lei
b-
nizsche Produktregel für Multiindizes (siehe auch Abschnitt 2.1.1).
Dass mit
u
,
v
Der Schwartz-Raum hängt eng mit der Fouriertransformation zusammen. Das nächs-
te Lemma zeigt weitere Rechenregeln für Fouriertransformierte von Schwartz-Funktionen.
Lemma 4.13
Es sei u
R
d
N
d
ein Multiindex und es bezeichne p
α
(
x
α
. Dann gelten die
∈S
(
)
α ∈
)=
,
x
Gleichungen
F
(
∂
α
u
∂
i
|α|
p
α
F
(
x
α
)=
u
)
i
|α| ∂
α
∂
p
α
u
F
(
)=
x
α
F
(
)
u
.
