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Beweis.
Wir wenden den Satz von Fubini an:
1
d
y
e
−
i
x
·
ξ
d
x
F
(
∗
)(
ξ
)=
(
)
(
−
)
u
v
R
d
u
y
v
x
y
d
/2
(
2
π
)
R
d
1
e
−
i
y·ξ
v
e
−
i(
x−y
)
·ξ
d
x
d
y
=
R
d
u
(
y
)
(
x
−
y
)
(
π
)
d
/2
2
R
d
e
−
i
y
·
ξ
d
y
=
(
)
F
(
)(
ξ
)
R
d
u
y
v
d
/2
=(
2
π
)
F
(
u
)(
ξ
)
F
(
v
)(
ξ
)
.
Ganz analog zum Faltungssatz kann man folgendes Lemma beweisen:
Lemma 4.8
Für u
,
v
L
1
R
d
∈
(
)
gilt
R
d
u
(
ξ
)
v
(
ξ
)
d
ξ
=
R
d
u
(
ξ
)
v
(
ξ
)
d
ξ
.
An dieser Stelle ist es verlockend, die Aussage des Lemmas als Gleichung von Ska-
larprodukten zu schreiben. Nach Lemma 4.5 wäre:
(
ξ
)
v
(
u
,
v
)
2
=
R
d
u
(
ξ
)
(
ξ
)
ξ
=
(
ξ
)
ξ
=
(
ξ
)
v
(
−ξ
)
ξ
=(
v
)
2
.
v
d
R
d
u
d
R
d
u
d
u
,
D
−
id
Dies ist allerdings an dieser Stelle nicht erlaubt, da wir die Fouriertransformation in De-
finition 4.1 nur für
L
1
-Funktionen definiert haben. Dies hatte auch seinen guten Grund,
denn für
L
2
-Funktionen kann nicht ohne weiteres gesichert werden, dass das definie-
rende Integral existiert. Es erscheint jedoch wünschenswert und wird sich als überaus
hilfreich herausstellen, die Fouriertransformation nicht nur auf dem (nicht einmal refle-
xiven) Banach-Raum
L
1
R
d
sondern auf dem Hilbert-Raum
L
2
R
d
(
)
(
)
zur Verfügung zu
haben.
4.1.2 Die Fouriertransformation auf
L
2
R
d
(
)
Die Fortsetzung der Fouriertransformation auf den Raum
L
2
R
d
(
)
erfordert einige Ar-
beit. Als ersten Schritt definieren wir einen „kleinen“ Funktionenraum, auf dem die
Fouriertransformation weitere interessante Eigenschaften hat - den Schwartz-Raum:
Definition 4.9
Der
Schwartz-Raum der schnell fallenden Funktionen
ist definiert durch
)=
u
)
∀
α
)
| <
∞
.
x
α ∂
β
∂
R
d
∈C
∞
(
R
d
N
d
:
C
S
(
,
β
∈
β
(
u
)=
sup
x
∈
R
d
|
u
(
x
α
,
x
β
R
d
∈S
(
)
Funktionen
u
heißen auch
Schwartz-Funktionen
.
