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F
und damit die Stetigkeit von
u
. Die Linearität von
ist klar und die Stetigkeit folgt aus
der Abschätzung
e
−
i
x
·
ξ
d
x
≤
1
1
1
|
(
ξ
)
|
=
(
)
R
d
|
(
)
|
=
d
/2
1
.
u
R
d
u
x
u
x
d
x
u
(
π
)
d
/2
(
π
)
d
/2
(
π
)
2
2
2
1
(2
π
)
Es folgt
u
∞
≤
u
1
.
d
/2
Insbesondere sind Fouriertransformierte von
L
1
-Funktionen beschränkt.
Bemerkung 4.3
(Alternative Definitionen der Fouriertransformation)
In anderen Büchern werden andere Definitionen der Fouriertransformation benutzt.
Gebräuchlich sind zum Beispiel folgende Varianten:
1
e
−
i
x·ξ
d
x
(
F
u
)(
ξ
)=
R
d
u
(
x
)
(
2
π
)
d
e
−
i
x·ξ
d
x
(
F
u
)(
ξ
)=
R
d
u
(
x
)
e
−
2
π
i
x
·
ξ
d
x
.
(
F
)(
ξ
)=
(
)
u
R
d
u
x
Weiterhin kann auch das Minuszeichen im Exponenten weggelassen sein. So ist beim
Gebrauch von Tabellen von Fouriertransformierten Vorsicht geboten, ebenso wie beim
Nachschlagen von Rechenregeln.
Die Fouriertransformation verträgt sich gut mit Translationen
T
y
und linearen Ko-
ordinatentransformationen
D
A
. Außerdem verträgt sie sich mit Modulationen, die wir
nun definieren.
Definition 4.4
Zu
y
R
d
definieren wir
∈
m
y
:
R
d
e
i
x·y
→
C
,
m
y
(
x
)=
und damit die
Modulation
von
u
durch punktweise Multiplikation mit
m
y
:
M
y
:
L
1
R
d
L
1
R
d
(
)
→
(
)
,
M
y
u
=
m
y
u
.
Einige elementare Transformationseigenschaften, die im Folgenden hilfreich sein
werden, sammelt das folgende Lemma:
