Image Processing Reference
In-Depth Information
4 Frequenz- und
Skalenraummethoden
Methoden, die auf Frequenz- oder Skalenraumzerlegungen zurückgehen, gehören wie
die in Kapitel 3 behandelten Verfahren zu den älteren Methoden der Bildverarbeitung.
Die Grundidee hierbei ist, das Bild in eine andere Darstellung zu transformieren, um
dort Eigenschaften zu bestimmen oder Veränderungen vorzunehmen. Eine herausra-
gende Rolle spielt hierbei die Fouriertransformation.
4.1 Die Fouriertransformation
Da Fouriertransformierte, wie wir in Kürze sehen werden, in natürlicher Weise kom-
plexwertig sind, ist es sinnvoll, vorerst komplexwertige Bilder zu behandeln. Es sei also
im Folgenden
u
:
R
d
C
.
In diesem Abschnitt werden wir die Fouriertransformation für gewisse Lebesgue-
Räume und Maße aus Abschnitt 2.2.2 und Distributionen aus Abschnitt 2.3 definieren.
Wir beginnen mit der Definition der Fouriertransformation auf dem Raum
L
1
→
R
d
(
)
.
4.1.1 Die Fouriertransformation auf
L
1
R
d
(
)
Definition 4.1
Sei
u
L
1
R
d
R
d
. Dann ist die
Fouriertransformierte
von
u
in
∈
(
)
ξ ∈
und
ξ
definiert durch
1
e
−
i
x
·
ξ
d
x
.
(
F
)(
ξ
)=
(
ξ
)=
(
)
u
u
R
d
u
x
d
/2
(
2
π
)
F
→
Die Abbildung
:
u
u
nennen wir
Fouriertransformation
.
Lemma 4.2
Die Fouriertransformation ist als Abbildung
:
L
1
R
d
R
d
F
(
)
→C
(
)
, wohldefiniert, linear und
stetig.
Beweis.
Der Integrand in der Fouriertransformation ist für fast alle
x
stetig in
ξ
und für
fast alle
ξ
durch
|
u
(
x
)
|
beschränkt. Es folgt nach dem Satz der dominierten Konvergenz
für
ξ
n
→
ξ
:
lim
n
→
∞
u
(
ξ
n
)=
u
(
ξ
)