Image Processing Reference
In-Depth Information
4 Frequenz- und
Skalenraummethoden
Methoden, die auf Frequenz- oder Skalenraumzerlegungen zurückgehen, gehören wie
die in Kapitel 3 behandelten Verfahren zu den älteren Methoden der Bildverarbeitung.
Die Grundidee hierbei ist, das Bild in eine andere Darstellung zu transformieren, um
dort Eigenschaften zu bestimmen oder Veränderungen vorzunehmen. Eine herausra-
gende Rolle spielt hierbei die Fouriertransformation.
4.1 Die Fouriertransformation
Da Fouriertransformierte, wie wir in Kürze sehen werden, in natürlicher Weise kom-
plexwertig sind, ist es sinnvoll, vorerst komplexwertige Bilder zu behandeln. Es sei also
im Folgenden
u : R d
C .
In diesem Abschnitt werden wir die Fouriertransformation für gewisse Lebesgue-
Räume und Maße aus Abschnitt 2.2.2 und Distributionen aus Abschnitt 2.3 definieren.
Wir beginnen mit der Definition der Fouriertransformation auf dem Raum L 1
R d
(
)
.
4.1.1 Die Fouriertransformation auf L 1
R d
(
)
Definition 4.1
Sei u
L 1
R d
R d . Dann ist die Fouriertransformierte von u in
(
)
ξ ∈
und
ξ
definiert durch
1
e i x · ξ d x .
( F
)( ξ )=
( ξ )=
(
)
u
u
R d u
x
d /2
(
2
π )
F
Die Abbildung
: u
u nennen wir Fouriertransformation .
Lemma 4.2
Die Fouriertransformation ist als Abbildung
: L 1
R d
R d
F
(
) →C (
)
, wohldefiniert, linear und
stetig.
Beweis. Der Integrand in der Fouriertransformation ist für fast alle x stetig in
ξ
und für
fast alle
ξ
durch
|
u
(
x
) |
beschränkt. Es folgt nach dem Satz der dominierten Konvergenz
für
ξ n
ξ
:
lim
n
u
( ξ n )=
u
( ξ )
 
Search WWH ::




Custom Search