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S
OLUTION
In this problem A ¼
0
:
5, B ¼
1, S ¼
4, Q ¼
1, R ¼
2, and N ¼
8. The Riccati
equation is
1))
1
P(k þ
P(k)
¼
0
:
25P(k þ
1)
0
:
125P(k þ
1)(1
þ
0
:
5P(k þ
1)
þ
1
This can be written as
125P
2
(k þ
0
:
1)
0
:
25P(k þ
1)
P(k)
¼
0
:
25P(k þ
1)
1)
þ
1
¼
1)
þ
1
(5
:
72)
1
þ
0
:
5P(k þ
1
þ
0
:
5P(k þ
with boundary condition P(8)
4
Solving Equation 5.72 backward in time from k ¼
¼ S ¼
8tok ¼
0 results in
P(8)
¼
4
0
:
25P(8)
0
:
25
4
P(7)
¼
5P(8)
þ
1
¼
4
þ
1
¼
1
:
3333
1
þ
0
:
1
þ
0
:
5
0
:
25P(7)
0
:
25
1
:
3333
P(6)
¼
5P(7)
þ
1
¼
3333
þ
1
¼
1
:
200
1
þ
0
:
1
þ
0
:
5
1
:
0
:
25P(6)
0
:
25
1
:
20
P(5)
¼
5P(6)
þ
1
¼
20
þ
1
¼
1
:
1875
1
þ
0
:
1
þ
0
:
5
1
:
0
:
25P(5)
0
:
25
1
:
1875
P(4)
¼
5P(5)
þ
1
¼
1875
þ
1
¼
1
:
1863
1
þ
0
:
1
þ
0
:
5
1
:
0
:
25P(4)
0
:
25
1
:
1863
P(3)
¼
5P(4)
þ
1
¼
1863
þ
1
¼
1
:
1862
1
þ
0
:
1
þ
0
:
5
1
:
0
:
25P(3)
0
:
25
1
:
1862
P(2)
¼
5P(3)
þ
1
¼
1862
þ
1
¼
1
:
1861
1
þ
0
:
1
þ
0
:
5
1
:
0
:
25P(2)
0
:
25
1
:
1861
P(1)
¼
5P(2)
þ
1
¼
1861
þ
1
¼
1
:
1861
1
þ
0
:
1
þ
0
:
5
1
:
0
:
25P(1)
0
:
25
1
:
1861
P(0)
¼
5P(1)
þ
1
¼
1861
þ
1
¼
1
:
1861
1
þ
0
:
1
þ
0
:
5
1
:
The feedback control gain K(k) is computed using Equation 5.71
0
:
25P(k þ
1)
1)]
1
K(k)
¼
0
:
25P(k þ
1)[1
þ
0
:
5P(k þ
¼
1
þ
0
:
5P(k þ
1)
Hence we have
0
:
25P(1)
0
:
25
1
:
1861
K(0)
¼
5P(1)
¼
1861
¼
0
:
1861
1
þ
0
:
1
þ
0
:
5
1
:
0
:
25P(2)
0
:
25
1
:
1861
K(1)
¼
5P(2)
¼
1861
¼
0
:
1861
1
þ
0
:
1
þ
0
:
5
1
:
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