Mathematical Foundations - Control of Color Imaging Systems: Analysis and Design - page 135

The eigenvalues are l 1 ¼ 1, l 2 ¼ 2, and l 3 ¼ 4. The corresponding eigenvectors

are computed as

2
4

3
5

2
4

3
5 ¼

2
4

3
5 !

(

2 : 61 : 3 2 : 5 a

b
c

a
b
c

2 : 6a þ 1 : 3b 2 : 5c ¼ a

Ax 1 ¼ l 1 x 1 ! 0 : 85 : 4 5

0 : 8a þ 5 : 4b 5c ¼ b

0 : 81 : 4 1

0 : 8a þ 1 : 4b c ¼ c

These three equations are not linearly independent. Only two of them are linearly
independent. Using the

first two equations with a ¼ 1, we have

2
4

3
5

<
:

3
4
4

b ¼

4
3

1 : 3b 2 : 5c ¼ 1 : 6 1

3

! ! x 1 ¼

4 : 4b 5c ¼ 0 : 8

4
3

c ¼

Similarly,

2
4

3
5

2
4

3
5 ¼

2
4

3
5

2 : 61 : 3 2 : 5 a

b
c

a
b
c

Ax 2 ¼ l 2 x 2 ! 0 : 85 : 4 5 2

0 : 81 : 4 1

Therefore,

(

2 : 6a þ 1 : 3b 2 : 5c ¼ 2a

0 : 8a þ 5 : 4b 5c ¼ 2b

0 : 8a þ 1 : 4b c ¼ 2c

2
4

3
5

1

<
:

b ¼ 0 : 5

1 : 3b 2 : 5c ¼ 0 : 6

! ! x 2 ¼ 0 : 5

3 : 4b 5c ¼ 0 : 8

c ¼ 0 : 5

0 : 5

The third eigenvector is

2
4

3
5

2
4

3
5 ¼

2
4

3
5

2 : 61 : 3 2 : 5 a

b
c

a
b
c

Ax 3 ¼ l

3 x 3

! 0 : 85 : 4 5 4

0 : 81 : 4 1

Hence,

(

2 : 6a þ 1 : 3b 2 : 5c ¼ 4a

0 : 8a þ 5 : 4b 5c ¼ 4b

0 : 8a þ 1 : 4b c ¼ 4c

2
4

3
5

( 1

3
1

b ¼ 3

1 : 3b 2 : 5c ¼ 1 : 4

! !x 3 ¼

1 : 4b 5c ¼ 0 : 8

c ¼ 1