Zellularautomaten und Boolesche Netze - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 41

die ersten Ergebnisse deuten darauf hin, dass hier in der Tat ein ähnlicher Zusammenhang
vorliegt. Natürlich kann auch diese Definition über die Varianz entsprechend graphentheore-
tisch dargestellt werden.
Dieser „komplementäre“ v-Parameter, sofern sich unsere Hypothese bestätigt, drückt offenbar
den Gedanken aus, den Kauffman mit seiner Definition von K realisieren wollte, nämlich die
Anzahl der Variablen der Booleschen Funktionen als Ordnungsparameter zu fassen. Die An-
zahl n der Einheiten, die auf eine bestimmte Einheit wirken, sagt ja nichts anderes aus als dass
der Zustand dieser Einheit durch eine n-stellige Boolesche Funktion bestimmt wird. Allerdings
ist im Gegensatz zu K der zweite v-Parameter als Proportionalmaß definiert und nicht als abso-
lute Größe; Kauffman hat unseres Wissens auch nie mit BN experimentiert, bei denen unter-
schiedliche Größen von K in einem BN eingeführt waren. Damit entspricht auch der neue v-
Parameter mathematisch den anderen Ordnungsparametern, die bis auf K sämtlich als Propor-
tionalmaß definiert worden sind.
Man kann übrigens zeigen, dass entsprechende Ordnungsparameter auch für stochastische ZA
und BN gelten; diese werden aus Kombinationen der Regeln und der W-Matrix bestimmt
(Klüver 2000). Die Definition eines stochastischen Ordnungsparameters, der sich am O-Para-
meter von Langton orientiert, ergibt sich folgendermaßen:
Sei P = (p ij ) die Wahrscheinlichkeitsmatrix für die Übergänge von Zustand i nach Zustand j
und sei F = (f ij ) die Häufigkeitsmatrix für die Übergangsregeln (siehe oben 2.1 und 2.3). Dann
ist

FP = (fp ij) ) = (f ij * p ij ) (2.20)

eine „Häufigkeits-Wahrscheinlichkeitsmatrix“ für den jeweiligen ZA. Der stochastische Ord-
nungsparameter O-FP ist nun
O-FP = (¦ i (¦ k fp ik - ¦ j fp ij )) / (n -1), (2.21)

wenn k der Zustand mit dem größten Wert in der FP-Matrix ist und n die Anzahl der Elemente
in der Matrix. Auch dieser Parameter misst offenbar die Abweichung von Gleichverteilungs-
werten, hier in der Kombination von Häufigkeits- und Wahrscheinlichkeitswerten. Wir (Klüver
2000) konnten zeigen, dass der O-FP-Parameter zwar ein relativ grobes Maß ist, sich jedoch
grundsätzlich ähnlich auf die Dynamik auswirkt wie der O-Parameter. Analog lassen sich sto-
chastische Varianten zu den anderen Ordnungsparametern konstruieren.
Generell kann man sagen, dass die einzelnen Ordnungsparameter jeweils Maße für Gleichheit
bzw. Ungleichheit in verschiedenen Dimensionen in einem System sind. So misst etwa der P-
Parameter das Maß an Ungleichheit, mit dem die verschiedenen Zustandswerte erzeugt wer-
den; entsprechend lässt sich v als ein Maß für die Ungleichheit der Wirkungen einzelner Ein-
heiten auf andere interpretieren. Ebenso können kanalisierende Funktionen als Maße für Un-
gleichheit verstanden werden, da hier eine Variable die andere(n) praktisch wirkungslos wer-
den lässt. Daraus lässt sich mit aller gebotenen Vorsicht ein generelles Prinzip der Ungleichheit
ableiten:
Je ungleicher ein komplexes System in den Dimensionen ist, die durch die verschiedenen Ord-
nungsparameter erfasst werden, desto einfacher ist seine Dynamik und umgekehrt. Da die
Wertebereiche bei den einzelnen Parametern für einfache Dynamiken stets deutlich größer
sind als die für komplexe Dynamiken kann man ebenfalls ableiten, dass die Wahrscheinlichkeit
für einfache Dynamiken und damit für dynamische Stabilisierungen komplexer Systeme wesent-
lich höher ist als die für komplexe Dynamiken, die die Systeme sozusagen nie zur Ruhe kom-