Zellularautomaten und Boolesche Netze - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 33

Graphisch illustriert sieht ein solches Netz beispielsweise folgendermaßen aus:

Bild 2-4 Ein BN mit 3 Einheiten und 3 Funktionen

„OR“ ist die Disjunktion und „AND“ die Konjunktion. Die dritte Funktion ergibt sich daraus,
dass auf die Einheit b nur diese Einheit selbst einwirkt, allerdings lediglich mit der „Identitäts-
funktion“, die den Zustand konstant lässt.
Die Dynamik dieses kleinen Netzes ergibt sich folgendermaßen, in Abhängigkeit von den je-
weiligen Anfangszuständen zum Zeitpunkt t 0 :

Tabelle 2-1 Dynamik eines Booleschen Netzes

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

t 0

1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

t 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0

t 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

etc.

Zu lesen ist diese Graphik folgendermaßen: Sind z. B. alle drei Einheiten im Zustand 1, dann
wirken die Booleschen Funktionen f und g derart, dass alle Zustände konstant bleiben; sind a
und b im Zustand 1 und c = 0, dann werden im nächsten Zeitschritt alle drei Zustände = 1 etc.
Man kann sofort erkennen, dass die Zustände (1,1,1) und (0,0,0) Punktattraktoren sind, die von
den jeweiligen Anfangszuständen aus in maximal zwei Schritten erreicht werden. Die Topolo-
gie ist offenbar asymmetrisch, da b zwar sowohl a als auch c beeinflusst, selbst aber durch die
anderen Einheiten nicht verändert werden kann. In diesem Fall haben wir auch eine inhomoge-
ne Topologie, da die Umgebungsgröße K für a und c gleich 2 ist, für b jedoch K = 0.
f und g sind auch noch unter allgemeineren Aspekten interessant. Wenn man die Werte 0 und 1
als sog. „Wahrheitswerte“ der Aussagenlogik interpretiert mit 0 als „falsch“ und 1 als „wahr“,
dann zeigt sich, wie bereits bemerkt, dass f die logische Konjunktion ist und g die logische
Disjunktion. f und g sind also aussagenlogisch betrachtet zwei der bekannten zweistelligen
Junktoren, von denen es - wie in den Umgebungsberechnungen für binäre ZA durchgeführt -
genau 2 4 gibt. Wesentlich in diesem Zusammenhang sind neben der Konjunktion und Disjunk-
tion noch die Implikation, die Äquivalenz und das ausschließende Oder (XOR). Alle drei seien
kurz als Wahrheitsmatrizen dargestellt: