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Die Einführung von BN ermöglicht es, diese Einschränkungen aufzuheben und die Geometrie,
d. h. die topologischen Relationen, des formalen Systems sowohl heterogen als auch asymme-
trisch zu konstruieren. Aufgrund dieser erweiterten Topologie sind BN in der praktischen An-
wendung reichhaltiger als ZA (wenn auch nicht grundsätzlich). Kauffman (1993), der die Boo-
leschen Netze unter der Bezeichnung NK-Systeme bekannt gemacht hat (N ist die Anzahl der
Einheiten und K die Anzahl der Verbindungen, also die Umgebungsgröße), bezeichnet deswe-
gen ZA als eine sehr spezielle Klasse von BN. Man kann also die Umgebungsgrößen mischen,
d. h. Umgebungen der Größe K = 0,1,2,3 oder noch andere einführen. Außerdem kann die
Symmetriebedingung außer Kraft gesetzt werden, so dass Umgebungszellen auf eine Zentral-
zelle einwirken, diese jedoch nicht ihre Umgebungszellen beeinflussen kann oder nur einen
Teil davon.
Ein BN wird demnach definiert durch:
1. die Struktur oder Topologie, bestehend aus einem Set von N definierten Elementen n i
(Knoten) mit einem Set von geordneten Paaren (Verbindungen) e ij = (n i ,n j ), typischerweise
repräsentiert in einem zusammenhängenden Digraph oder in einer Adjazenzmatrix (siehe
weiter unten),
2. die Transformationsfunktionen, ein Set M von sog. Booleschen Funktionen f i , die für jedes
Element n i bestimmt werden und
3. den Zustand S: ein Set an L Zuständen s i , die mit natürlichen bzw. binären Zahlen für
jedes Element n i festgelegt werden.
Ein einfaches Beispiel soll dies illustrieren:
Gegeben sei ein binäres BN mit drei Einheiten a, b und c. Als Regeln sollen gelten
f(a,b) = c, und g(b,c) = a.
(2.11)
f und g sind definiert durch
f(1,1) = 1; f(1,0) = 0; f(0,1) = 0 und f(0,0) = 0
g(1,1) = 1; g(1,0) = 1; g(0,1) = 1 und g(0,0) = 0. (2.12)
Umgangssprachlich bedeuten diese Regeln, dass z. B. bei a = 1 und b = 1 auch (der Zustand
von) c = 1 wird; entsprechend wird bei a = 1 und b = 0 der Zustand von c = 0. In der von uns
eingeführten ZA-Schreibweise der Regeln als n-Tupel wäre dann z. B. f zu charakterisieren als:
(1, 1, 1); (1, 0, 0); (0, 1, 0);(0, 0, 0), da es auf den jeweils vorherigen Zustand von c nicht an-
kommt.
Wenn man sich nun die beiden Funktionen f und g etwas genauer anschaut, dann sieht man,
sofern man sich etwas mit mathematischer Logik beschäftigt hat, dass f offensichtlich die sog.
logische Konjunktion ist und g die logische Disjunktion - umgangssprachlich bedeutet „Kon-
junktion“ die Verknüpfung zweier Aussagen durch „und“, Disjunktion ist die Verknüpfung
durch „oder“. Da diese logischen Verknüpfungen im 19. Jahrhundert durch den englischen
Mathematiker George Boole zuerst in Form einer „logischen Algebra“ dargestellt wurden,
nennt man diese Verknüpfungen mittlerweile auch „Boolesche Funktionen“, und Netze, deren
Einheiten durch Boolesche Funktionen verknüpft sind, heißen deswegen eben „Boolesche
Netze“. 4
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Dies können Sie genauer nachlesen in unserer in der Einleitung erwähnten Einführung in „Mathema-
tisch-logische Grundlagen der Informatik“.
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