Zellularautomaten und Boolesche Netze - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 31

sind. Falls die Werte der W-Matrix für alle Regeln und jede Umgebungsbedingung gelten,
kann man diese Werte auch als globale Systemparameter verstehen, mit denen man die Dyna-
mik des jeweiligen ZA weitgehend steuern kann. Insbesondere führt die Einführung von Wer-
ten p = 0 in die W-Matrix dazu, dass die entsprechenden Übergangsregeln außer Kraft gesetzt
werden.
Man kann natürlich die Einführung probabilistischer Komponenten in ZA-Regeln noch
dadurch verfeinern, dass nicht globale p-Werte durch eine W-Matrix zu allen Regeln, d. h. zu
allen Übergängen eines bestimmten Zustandes in einen bestimmten anderen Zustand, hinzu-
gefügt werden, sondern dass bestimmte einzelne Regeln mit spezifischen Wahrscheinlichkeits-
werten besetzt werden. Beispielsweise könnte man im Game of Life festsetzen, dass die Sub-
regel von Regel (1), dass bei weniger als drei Zellen im Zustand 1 die Zentralzelle in den
Zustand 0 - vom Zustand 1 oder 0 - übergeht, mit der Wahrscheinlichkeit von p = 0.4 besetzt
wird und die andere Subregel (mehr als 3 Zellen im Zustand 1 für die gleichen Übergänge) mit
der Wahrscheinlichkeit von p = 0.6. Dann muss auch die Regel (2) mit einem Wahrschein-
lichkeitswert ergänzt werden, um eine entsprechende erweiterte W-Matrix wieder zu normie-
ren, d. h., um zu garantieren, dass irgendein Übergang auf jeden Fall stattfindet. Derartige
zusätzliche Feinheiten jedoch sind normalerweise nicht erforderlich und das Gesamtverhalten
des jeweiligen ZA verändert sich dadurch nicht wesentlich.
Die grundsätzliche Dynamik stochastischer ZA ist von der deterministischer ZA nicht wesent-
lich verschieden, bis auf eine wichtige Ausnahme: Trajektorien stochastischer ZA weisen ge-
wöhnlich lokale Schwankungen auf, d. h., sie fluktuieren ständig. Das liegt daran, dass die W-
Matrix häufig die Bahnen im Zustandsraum verändern kann, auch wenn die Regeln „eigent-
lich“ die Trajektorie in eine wohl definierte Richtung steuern. Stochastische ZA können bei-
spielsweise im Gegensatz zu deterministischen ZA einen Attraktor - auch einen Punktattrak-
tor - kurzfristig wieder verlassen; allerdings „zwingen“ die Regeln das System sehr rasch wie-
der in den Attraktor zurück. In gewisser Hinsicht kann man dies dadurch charakterisieren, dass
die Regeln die Gesamtdynamik in bestimmte Richtungen steuern, während die zusätzlichen
probabilistischen p-Werte lokale Veränderungen und Störungen bewirken können.
Unter dem Stichwort der Ordnungsparameter werden wir im übernächsten Teilkapitel noch
einige formalere Hinweise zum Verhältnis von Regeln und W-Matrizen geben; außerdem wer-
den wir das Prinzip stochastischer ZA-Regeln an einem Beispiel erläutern.
2.2 Boolesche Netze
Boolesche Netze (BN) können ohne Beschränkung der Allgemeinheit als die elementare
Grundform jeder Netzwerkmodellierung bezeichnet werden; streng genommen sind sie nichts
anderes als ZA mit einer heterogenen und asymmetrischen Topologie. Damit ist Folgendes
gemeint:
Die Geometrie eines ZA ist üblicherweise dadurch bestimmt, dass es einen speziellen Umge-
bungstypus gibt wie meistens Moore- und von Neumann-Umgebungen; dieser Typus charakte-
risiert den ZA in dieser Hinsicht vollständig. In diesem Sinne haben wir im vorigen Subkapitel
von einer homogenen Geometrie gesprochen. Außerdem sind die Wechselwirkungen symme-
trisch, d. h., die Umgebung einer Zelle wirkt auf die Zelle ein, aber die Zentralzelle ist selbst
Umgebungszelle für die Zellen ihrer eigenen Umgebung. Deswegen ist oben die Umgebung als
eine „symmetrische Relation“ für die jeweiligen Zellen bezeichnet worden.