Zellularautomaten und Boolesche Netze - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 22

2.1 Zellularautomaten

Zellularautomaten, im Folgenden als ZA abgekürzt, sind Ende der fünfziger Jahre von John
von Neumann entwickelt worden, einem mathematischen Universalgenie, der als einer der
Begründer der gesamten Informatik gelten kann. Von Neumann beschäftigte sich gegen Ende
seines Lebens mit dem Problem, eine mathematische Darstellung lebender Systeme zu entwi-
ckeln; seine erfolgreiche Lösung dieses Problems sind die ZA, die in den letzten beiden Jahr-
zehnten vor allem im Zusammenhang mit der Forschungsrichtung des sog. „Künstlichen Le-
bens“ (Artificial Life) bekannt wurden (Langton 1988; Langton et al. 1992; Langton 1994). ZA
wurden allerdings bereits in den Sechzigern und Siebzigern unter anderem für die Analyse
sozial-wissenschaftlicher und physikalischer Probleme verwendet; gegenwärtig finden sie in
praktisch allen Wissenschafts- sowie zahlreichen Technikbereichen Anwendung (vgl. für eine
etwas ältere Darstellung Gerhard und Schuster 1995).

2.1.1 Allgemeine Darstellung
Die Grundidee der ZA ist die folgende: Gegeben ist ein Gitter von Zellen, die gewöhnlich als
Quadrate konzipiert und visualisiert sind. Die Entwicklung findet in Raum und Zeit statt und
die einzelnen ZA unterscheiden sich in den Dimensionen (es gibt ein-, zwei- sowie drei-
dimensionale ZA) und in der Gittergeometrie des zugrunde liegenden Raums. Eine Zelle hat
z. B. - in einem zweidimensionalen Zellraum mit einer quadratischen Gittergeometrie - acht
„Nachbarn“, d. h., es gibt zu jeder Zelle genau 8 weitere Zellen, die an die erste Zelle anschlie-
ßen - rechts, links, oben, unten und an den vier Eckpunkten. Die benachbarten Zellen bilden
die Umgebung der ersten Zelle (neighbourhood). Wenn man nur die vier Zellen berücksichtigt,
die an den Seiten der quadratischen Zelle anliegen, spricht man von einer von Neumann-
Umgebung; nimmt man auch die vier Zellen an den Eckpunkten dazu, hat man eine sog. Moo-
re-Umgebung. Natürlich sind auch andere Umgebungskonstellationen möglich, aber diese
beiden sind gewissermaßen die Standardtypen. Zur Illustration werden drei unterschiedliche
Gittergeometrien in einem zweidimensionalen Raum gezeigt:

a) rechteckiges b) hexagonales c) dreieckiges Gitter

Bild 2-1 Zweidimensionale Zellräume mit unterschiedlichen Gittergeometrien: a) Rechteckiges Gitter
mit einer zentralen Zelle (schwarz) und ihre Nachbarn (dunkelgrau: von Neumann-Umgebung; hellgrau +
dunkelgrau: Moore-Umgebung); b) Die Zentralzelle hat in diesem Fall 6 Nachbarn c) Dreieckiges Gitter
mit einer möglichen Nachbarschaftskonstellation.

Wenn man ZA generell analysieren will, ohne damit ein spezielles reales System modellieren
zu wollen, ist es häufig einfacher, dazu eindimensionale ZA zu verwenden. Die Umgebungs-
zellen, die natürlich auch hier unterschiedlich viele sein können, sind dann die Zellen, die
rechts und links von der Zentrumszelle platziert sind; will man größere Umgebungen zur Ver-
fügung haben, nimmt man die jeweils übernächsten Zellen usf. Auch das kann an einem einfa-
chen Beispiel verdeutlicht werden: