Fuzzy-Mengenlehre und Fuzzy-Logik - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 171

Gegeben seien zwei Relationen R und S mit den jeweiligen Wertebereichen
R(x,y) A u B, und S(y,z) B u C. (5.31)
Dann ist die Relation S·R(x,z), also die „verkettete“ Relation S·R zwischen x und z, definiert
durch

S(R(x,y),z). (5.32)
Angewandt wird dies Prinzip gewöhnlich bei Abbildungen, also eindeutigen Relationen; bei
nicht eindeutigen Relationen macht dies Prinzip nicht immer praktisch Sinn. Bei unscharfen
Relationen jedoch ist es immer möglich, eine Verknüpfung herzustellen, was wir hier für die
max-min-Verkettung kurz vorführen wollen.
Eine max-min-Verkettung für die Relationen R und S ist definiert mit
P S · R (x,z) = max[min (P R (x,y), P S (y,z)) für alle y B].

(5.33)

Die „Maximierung der Minima“ ist im allgemeinen Fall deswegen erforderlich, weil Relatio-
nen, wie bemerkt, nicht eindeutig sein müssen und deshalb mehrere y-Werte eine gleiche Ab-
bildung von x- Werten auf z-Werte ermöglichen können. IF-THEN-Regeln liefern ja im allge-
meinen Fall keine mathematischen Abbildungen bzw. Funktionen, sondern logische Relatio-
nen; die max-min-Verkettung trägt diesem praktischen Vorzug aber mathematischen Nachteil
von Regeln dieses Typs Rechnung.
Eine sehr ähnliche, ebenfalls häufig verwendete Berechnungsweise ist die so genannte Max-
Prod-Verkettung, in der die Minimumbildung der max-min-Verkettung durch das algebraische
Produkt ersetzt wird. Formal ergibt dies
P S · R (x,z) = max[(P R (x,y) P S (y,z)) für alle y B].

(5.34)

Fuzzy-Methoden haben ihre praktische Wichtigkeit vor allem in den Bereichen von Experten-
und Steuerungssystemen bewiesen. Eine der wichtigsten und frühesten Anwendungen im tech-
nischen Bereich ist unter dem Begriff „Fuzzy Control“ bekannt, worauf wir eingangs bereits
verwiesen hatten.
Wir skizzieren dies Verfahren kurz am Beispiel eines Raumthermostaten, der je nach herr-
schender Raumtemperatur und Tageszeit die Heizung angemessen regeln soll. Natürlich misst
der Thermostat nicht Fuzzy-Werte, sondern eine präzise Temperatur und eine genaue Zeit. Die
erste Stufe des Fuzzy-Control besteht also in einer Zuordnung von P-Werten zu diesen schar-
fen Messwerten; diese Abbildung scharfer Werte auf das System der relevanten unscharfen
Mengen, hier etwa zu den unscharfen Mengen „ kalt “ und „Nacht “, nennt man Fuzzyfizierung.
Danach werden die Inferenzregeln angewendet; diese werden aus umgangssprachlichen Re-
geln, z. B. einer Regel wie „wenn der Raum wenig abgekühlt ist und es ist tiefe Nacht, dann
wird kurz die Heizung angestellt“ abgeleitet in Fuzzy-Regeln übersetzt. Die Anwendung der
Regeln resultiert natürlich in Fuzzy-Werten, die durch ein mathematisch-präzises Verfahren,
die Defuzzyfizierung, in scharfe Werte transformiert werden müssen. Die Heizung wird ja
nicht durch die Angabe „kurz einschalten“, sondern durch scharfe Werte z. B. für die Ein-
schaltdauer oder Maximal-Temperatur gesteuert.
Anhand der Fuzzyfizierung von Expertensystemen und den so genannten Neuro-Fuzzy-Verfah-
ren werden wir dies etwas systematischer behandeln.