Fuzzy-Mengenlehre und Fuzzy-Logik - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 165

Kategorie „teures Auto“, da für Normalverdiener vermutlich sowohl der Porsche Boxter als
auch der ca. sechsmal teurere Maybach von Daimler in diese Kategorie fallen. In dem Sinne
bilden die „teuren Waren“ eine unscharfe Menge.
Die Unterschiede zwischen Wahrscheinlichkeit und Unschärfe sind jedoch nicht nur erkennt-
nistheoretische Spitzfindigkeiten, sondern sie sind auch für die Praxis bedeutsam und haben
eine mathematische Basis.
Wie schon bemerkt, haben Wahrscheinlichkeiten etwas mit exakt definierbaren Mengen von
möglichen Ereignissen zu tun. Mathematisch sind Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines
einzelnen Ereignisses E Abbildungen von einer Menge von Teilmengen - nämlich Teilmengen
der Menge aller möglichen für das infrage stehende Problem relevanten Ereignisse E i - in das
Intervall [0,1] der reellen Zahlen:
pE i : E i o 0, >@ (5.20)

Die Abbildung wird als Wahrscheinlichkeit bezeichnet, wenn überdies gewisse Axiome gelten,
z. B. dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Teilmengen gleich 1, also gleich der
Gewissheit, sein soll.
So ist jede Kombination von 6 Gewinnzahlen im Lotto eine Teilmenge der Menge aller Sech-
ser-Kombinationen 49 Lottozahlen (ca. 13 Millionen), und jeder dieser Teilmengen ist eine
geringe und gleiche Wahrscheinlichkeit des Eintretens zugeordnet. Die Summe aller dieser
Wahrscheinlichkeiten ist 1, denn mit Gewissheit werden ja 6 Zahlen gezogen.
Unscharfe Mengen bzw. Zahlen beruhen hingegen auf einer Abbildung von Elementen einer
Grundmenge - dies ist häufig eine Teilmenge der reellen Zahlen - auf das genannte Intervall:
P x : x G o 0, >@

(5.21)

Diese Tatsachen haben natürlich Konsequenzen für die Aussagen, die jeweils die Wahrschein-
lichkeitstheorie und die Fuzzy-Mengen-Theorie machen können. Dies können wir hier nur an
einem kleinen Beispiel verdeutlichen:
Bild 5-7 zeigt zwei unscharfe Zahlen (zur Vereinfachung als „Rechteckzahlen“). Falls man
dieselben Graphen als Wahrscheinlichkeiten interpretiert, haben wir es mit zwei Gleichvertei-
lungen von Zahlen zu tun; diese können z. B. mit zwei Zufallsgeneratoren erzeugt werden, die
gleich verteilt die Zahlen 1, 2, 3 oder 4, 5, 6 auswählen.

Bild 5-7
Zwei unscharfe Zahlen bzw. Gleich-
verteilungen

Wenn die beiden unscharfen Zahlen nach der oben eingeführten Definition addiert werden, so
ergibt sich die unscharfe Zahl in Bild 5-8: