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Da der Durchschnitt von Mengen prädikatenlogisch dem „UND“ entspricht, kann die Menge
A
B
hier sprachlich als die unscharfe Menge aller Temperaturen, die ungefähr 27 und unge-
fähr 29 Grad entsprechen, bezeichnet werden.
Für den Fall, dass A und B scharfe Mengen sind, also die P-Werte gleich 1 sind für alle jewei-
ligen Elemente der beiden Teilmengen, ergibt sich wieder die klassische Definition; der Durch-
schnitt von A und B ist also die Menge, die alle die Elemente enthält, die sowohl in A als auch
in B enthalten sind.
Die Komplementmenge
A
C
zu einer Menge
A
ergibt sich ebenfalls sehr einfach:
A
C
= ^(x, P
A
C
«P
A
C
! 0 für x für alle x
A
C
)` sowie
P
A
C
(x) = 1 - P
A
(x),
(5.8)
was in dieser Definition natürlich nur für normalisierte Mengen Sinn macht.
Das Komplement entspricht der logischen Negation, da eine Komplementmenge A
C
zu einer
gegebenen Menge A definiert ist als die Menge, die alle die Elemente enthält, die
nicht
zu A
gehören.
Um sich eine anschauliche Vorstellung der Komplementmenge zu machen, überlegen Sie sich
anhand von Bild 5-2, wie die ZGF für die Komplementmenge „nicht Luxusauto“ aussieht.
Man kann sich an einfachen Beispielen rasch klar machen, dass und warum das Prinzip der
„doppelten Komplementarität“, also
A
CC
=
A
, auch für unscharfe Mengen gelten muss. Etwas
weniger evident ist die Gültigkeit der beiden Distributivgesetze sowie der De-Morganschen-
Regeln.
Zur Erinnerung bzw. Verdeutlichung seien die beiden Distributivgesetze angeführt:
A (B C) = (A B) (A C),
sowie
A (B C) = (A B) (A C), (5.9)
Wobei, wie bereits verwendet, die Durchschnittsbildung und die Vereinigung zweier
Mengen bedeuten.
Die De-Morganschen-Regeln lauten (bei scharfen Mengen):
(A B)
C
= A
C
B
C
, sowie
(A B)
C
= A
C
B
C
. (5.10)
Hingewiesen werden soll zusätzlich darauf, dass im Fall der Komplementbildung auch eine
generalisierte Definition der ZGF verwendet wird:
P
A
C
(x) = (1 - P
A
(x)) / (1 + O P
A
(x) und
0 d
O
d
f,
(5.11)
wobei O = 0 auf die oben definierte einfache Form führt.
Das cartesische Produkt
A
u
B
wird wie folgt berechnet:
Seien (x, P
A
(x))
A
und (y, P
B
(x))
B
,
A
und
B
unscharfe Mengen.
Das cartesische Produkt ist wieder eine unscharfe Menge mit
A
u
B
= ^ (x, y), P
A
u
B
(x, y)`
und
P
A
u
B
(x, y) = min(P
A
(x)
,
P
B
(y)).
(5.12)
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