Fuzzy-Mengenlehre und Fuzzy-Logik - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 159

In der empirischen Sozialforschung trägt man diesem Umstand Rechnung durch Skalierungen,
d. h. Konstruktion einer „Sympathieskala“ in beliebiger Differenziertheit, auf die man den
Sympathiewert, den ein Mensch für einen anderen Menschen hat, einträgt.
Mengentheoretisch entspricht dies genau dem Konzept der unscharfen Mengen: Gegeben sei
als Grundmenge G die Menge aller mir bekannten Menschen und als Teilmenge A die Menge
aller (mir) sympathischen Menschen. Dann gilt für jeden Bekannten x, dass
0 P A (x) 1, (5.5)
d. h. jeder Bekannte ist „mehr oder weniger“ sympathisch bzw. unsympathisch. Für die jewei-
ligen Lebensgefährten(innen) lgf gilt nebenbei bemerkt hoffentlich (!) P A (lgf) = 1; für die -
hoffentlich nur wenigen - Feinde f gilt entsprechend P A (f) = 0.
Die klassischen mengentheoretischen Operatoren bestehen bekanntlich darin, aus einer oder
mehreren (scharfen) Mengen neue (scharfe) Mengen zu erzeugen. So ist z. B. der Durchschnitt
zweier Mengen M und N - M N - definiert als die Menge, die aus genau den Elementen
besteht, die M und N gemeinsam haben. Deswegen spricht man in der Mathematik auch von
einer „Algebra“ der Mengen; in der aus der Schule bekannten Algebra geht es z. B. darum,
durch Operationen wie die Addition, Subtraktion oder Multiplikation aus zwei Zahlen eine
neue zu erzeugen. Entsprechend geht es bei Operatoren der unscharfen Mengen darum, aus
vorgegebenen unscharfen Mengen neue unscharfe Mengen zu erzeugen und die Unschärfe der
neuen Mengen zu bestimmen. Dies bedeutet, dass man aus den vorgegebenen Zugehörigkeits-
funktionen ZGF i der Ausgangsmengen die ZGF-Werte für die Elemente der neuen Menge
berechnet.
Die auch in diesem Zusammenhang wichtigsten Operatoren sind die der Vereinigung, der
Durchschnittsbildung, der Komplementbildung und die Bildung des cartesischen Produkts.
Für die Kombination dieser Operatoren gelten bekannte (für Mengentheoretiker) Gesetze,
nämlich Kommutativität sowie Assoziativität von Durchschnitt und Vereinigung, die beiden
Distributivgesetze für die Kombination von Durchschnitt und Vereinigung und die De-Mor-
ganschen-Regeln der Komplementbildung von Vereinigung und Durchschnitt.
Unscharfe Mengen erlauben die Anwendung dieser - und anderer - Operatoren, wobei es na-
türlich immer darum geht, aus der Unschärfe der Ausgangsmengen nach bestimmten Berech-
nungsregeln die Unschärfe der Ergebnismenge(n) zu bestimmen.
Für unscharfe Mengen erhalten wir die folgenden Definitionen:
A und B seien unscharfe normalisierte Mengen auf ein und derselben Grundmenge G mit P A
und P B als ZGF.
Dann gilt für die Vereinigungsmenge
A B = {(x, P A B (x)) | P A B > 0 für alle x A B} und
P A B (x) = max(P A (x), P B (x)). (5.6)
max (a,b) ist der größte Wert von a und b oder mehr Elementen; entsprechend ist min (a,b) der
kleinste (siehe unten).
Der Operator sei wieder an einem Beispiel verdeutlicht: Bild 5-5 zeigt unscharfe Mengen A
und B , die durch die Eigenschaften „ungefähr 27 Grad“ und „ungefähr 29 Grad“ beschrieben
sind.