Die Modellierung adaptiver Prozesse durch Evolutionäre Algorithmen - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 104

Bild 3-15 Ergebnisse nach den Topologieänderungen beim SA im Vergleich
Wie ist nun diese auffällige Verbesserung der SA-Werte zu erklären? Um dies etwas systema-
tischer zu betrachten, gehen wir noch einmal auf die physikalische Begründung für die
Topologieforderung zurück.
Wir haben erwähnt, dass in der Physik angenommen werden kann, dass räumlich (in der Fest-
körperphysik) und/oder zeitlich (in der Physik der Gase) benachbarte Zustände auch ein ähnli-
ches Energieniveau haben. Mathematisch lässt sich diese gut bestätigte Annahme dadurch
charakterisieren, dass es eine Abbildung bzw. Funktion f gibt, die Punkte des Lösungsraumes
auf entsprechende Punkte des „Bewertungsraumes“ abbildet, d. h. auf das entsprechende Inter-
vall der reellen Zahlen, das die Bewertungen für die jeweiligen Lösungen enthält. Die physika-
lische Annahme besagt nun, dass f „stetig“ ist und zwar sogar „global stetig“. Eine stetige
Funktion ist, topologisch gesprochen, eine solche, bei der Umgebungen von Punkten in einem
Raum auf entsprechende Umgebungen von Punkten eines anderen Raumes abgebildet werden.
Im Fall der globalen Stetigkeit gilt dies für alle Punkte der beiden Räume, d. h., die Abbildung
hat keine „Lücken“. 17
Wenn es eine derartige Abbildung gibt, dann hat die Topologie des Lösungsraumes offenbar so
etwas wie eine Steuerungsfunktion: Indem durch die Topologie definiert wird, welche Lösun-
gen ausgewählt werden sollen, um den Vergleich zur ersten durchzuführen, bleiben die neuen
Lösungen immer in der Nähe der ersten hinsichtlich ihrer Werte . M.a.W., auch wenn durch die
Boltzmann-Wahrscheinlichkeit schlechtere Lösungen ausgewählt werden, dann sind deren
Werte immer in der Nähe des Wertes der besseren Lösung. Damit wird garantiert, dass die
Konvergenzkurve sehr bald immer glatter wird und keine dramatischen Veränderungen bei den
neuen Werten auftauchen. Das kann man an den neuen SA-Versionen sehr gut erkennen. Eine
Topologie des Lösungsraumes hat damit eine ähnliche Funktion wie die Verwendung
17 Etwas genauer definiert: Seien R und R' zwei topologische Räume, also Mengen, auf denen eine
Umgebungsbeziehung definiert ist. Sei x R, sei U eine Umgebung von x und sei f eine Abbildung
von R in R'. Dann ist f stetig wenn gilt, dass f(U) eine Umgebung von f(x) in R' ist. Es gibt noch
detailliertere Definitionen für Stetigkeit, aber diese genügt hier vollständig.