Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
N
1
N
1
kNn
kn
N
Xk
xn w
xn w
(8.7)
N
n
0
n
0
Der Vergleich mit der Faltungssumme (8.1) zeigt prinzipielle Übereinstimmung dann, wenn im
Argument der Exponentialfunktion
N
n
als Differenz der Laufindizes des Faltungsergebnis-
ses und der Faltungssumme verstanden wird.
n
xm w
knm
yn
xn hn
(8.8)
N
m
0
Das rechtsseitige Signal
x
[
n
] wird mit dem rechtsseitigen Hilfssignal
h
[
n
] gefaltet.
n
N
(8.9)
hn
w
un
Wird die Folge
x
[
n
] mit
x
[
N
] = 0 ergänzt, gilt für
n
=
N
in (8.8) die Übereinstimmung mit dem
gesuchten DFT-Koeffizienten
yN
Xk
(8.10)
Im zweiten Schritt wird die Berechnung der Faltungssumme als eine Anwendung des Prinzips
der Rückkopplung (Rekursion) eingeführt, wie es auch in den Differenzengleichungen noch
zum Ausdruck kommt.
Anmerkung:
Ohne das fundamentale Prinzip der Rückkopplung wäre unsere Welt nicht denkbar. Als
fachübergreifende Wissenschaft beschäftigt sich damit die von dem amerikanischen Mathematiker
Norbert Wiener (1894
1964) gegründete Kybernetik. Andersherum gesehen ist zu erwarten, dass sich für
Differenzengleichungen (und Differenzialgleichungen) wichtige praktische Anwendungen ergeben, wie z.
B. der Regelkreis in der Regelungstechnik.
Schreibt man die Faltungssumme (8.8) für die Werte von
y
[
n
] explizit an
y
[0]
h
[0]
x
[0]
x
[0]
y
[1]
h
[0]
x
[1]
h
[1]
x
[0]
x
[1]
h
[1]
y
[0]
y
[2]
h
[0]
x
[2]
h
[1]
x
[1]
h
[2]
x
[0]
x
[2]
h
[1]
x
[1]
h
[1]
x
[0]
(8.11)
x
[2]
h
[1]
y
[1]
usw
.
ergibt sich aus einem Koeffizientenvergleich wegen der Produktdarstellung (8.9) der rekursive
Zusammenhang
yn
xn
h
1
yn
1
für
n
0
und
y
1
0
(8.12)
Es liegt eine lineare
Differenzengleichung
mit konstanten Koeffizienten (DGL) 1. Ordnung vor
yn
a yn
1
b xn
(8.13)
1
0
mit den beiden Koeffizienten
