Environmental Engineering Reference
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Durch Integration erhält man mit der Bedingung
V
=
0 bei
y
=
r
die Gleichung des
Rotationsparaboloids
ʔ
p
(2.37)
2
2
(
y
)
=
−
⇅
(
y
−
r
)
V
4
ʷ
⇅
l
Der Maximalwert der Strömungsgeschwindigkeit in der Rohrachse ergibt sich
mit
y
= 0 zu
ʔ
p
=
⇅
r
2
(2.38)
V
4
ʷ
⇅
l
max
Der durch den Rohrquerschnitt fließende Volumenstrom ist formal gleich dem
Inhalt des Rotationsparaboloids. Durch Integration von Gl. (2.37) über konzentri-
sche Flächenelemente
dA
r
das von Hagen und Poisseuille um 1840 erstmals veröffentlichte Gesetz für den
Volumenstrom bei laminarer, isothermer Rohrströmung:
= 2ʌ
⇅
y
⇅
d
y
erhält man mit den Grenzen
y
=
0 und
y
=
4
4
ʌ
⇅
r
ʌ
⇅
d
Q
=
⇅
ʔ
p
=
⇅
ʔ
p
(2.39)
8
ʷ
⇅
l
128
ʷ
⇅
l
Für die mittlere Geschwindigkeit im Rohr gilt dabei
Q
ʔ
p
2
=
=
⇅
r
(2,40)
V
8
ʷ
⇅
l
ʌ
⇅
r
2
Sie entspricht damit genau der halben maximalen Strömungsgeschwindigkeit:
V
= 0,5 ⇅
V
max
.
Eine Auflösung von Gl. (2.40) nach dem Druckabfall ǻ
p
ergibt
l
ʔ
p
=
8 ʷ
⇅
⇅
⇅
(2.41)
V
r
2
Man erkennt aus dieser Gleichung, dass der Strömungswiderstand ǻ
p
bei lamina-
rer Strömung linear mit der Geschwindigkeit wächst. Da es sich um ein Gesetz
handelt, kann Gl. (2.41) bei sehr genau kontrollierter Fluidtemperatur sogar zur
experimentellen Bestimmung der Viskosität benutzt werden [2.27].
Setzt man die Gleichungen (2.41) und (2.33) gleich, so wird
64
(2.42)
ʻ
=
R
Re
Diese Funktion ist eine Hyperbel, die sich im doppelt logarithmischen Netz als
Gerade abbildet - hierauf wird später noch Bezug genommen.
