Oscillatory Dynamics in Biological Neurons - Advanced Models of Neural Networks - page 94

In a similar manner one computes

@h 1
@x 4 g 14 )
L g 1 h 1 .x/ D 1g 11 C 0g 12 C 0g 13 C 0g 14 )L g 1 h 1 .x/ D 0

@h 1
@x 1 g 11 C

@h 1
@x 2 g 12 C

@h 1
@x 3 g 13 C

L g 1 h 1 .x/ D

(4.56)

and

@h 2 @h 2 @h 2 @h 2

@x 4 g 24 )
L g 1 h 1 .x/ D 1g 21 C 0g22 C 0g 23 C 0g 24 )L g 1 h 1 .x/ D 0

L g 1 h 1 .x/ D

@x 1 g 21 C @x 2 g 22 C @x 3 g 23 C

(4.57)

Similarly one gets

@ z 2 @ z 2 @ z 2 @ z 2

@x 4 g 14 )
L g 1 L f h 1 .x/ D ./g 11 C g12 C 0g 13 C 0g 14 )
L g 1 L f h 1 .x/ D ./0 C 1 C 00 C 00)L g 1 L f h 1 .x/ D

L g 1 L f h 1 .x/ D

@x 1 g 11 C @x 2 g 12 C @x 3 g 13 C

(4.58)

and

@ z 2 @ z 2 @ z 2 @ z 2

@x 4 g 24 )
L g 2 L f h 1 .x/ D ./g 21 C g22 C 0g 23 C 0g 24 )
L g 2 L f h 1 .x/ D ./0 C 0 C 00 C 00)L g 1 L f h 1 .x/ D 0

L g 2 L f h 1 .x/ D

@x 1 g 21 C @x 2 g 22 C @x 3 g 23 C

(4.59)

Moreover, it holds

z 1 D h 2 .x/ D x 3

(4.60)

and

z 2 D L f h 2 .x/ D

@h 2 @h 2 @h 2 @h 2

@x 1 f 1 C @x 2 f 2 C @x 3 f 3 C @x 4 f 4 )

(4.61)

z 2 D f 3 ) z 2 Dx 3 C x 4

Additionally, one has

@ z 2
@x 1 f 1 C

@ z 2
@x 2 f 2 C

@ z 2
@x 3 f 3 C

@ z 2
@x 4 f 4 )

z 2 D L f h 2 .x/ D

(4.62)

z 2 D 0f 1 C 0f 2 f 3 C f 4 )
z 2 D.x 3 C x 4 / C Œx 4 .x 4 a/.1 x 4 / x 3 C g.x 4 x 2 /

Moreover one computes

@h 2 @h 2 @h 2 @h 2

@x 4 g 14 )
L g 1 h 2 .x/ D 0g 11 C 0g 12 C 1g 13 C 0g 14 )L g 1 h 2 .x/ D g 13 )L g 1 h 2 .x/ D 0
(4.63)

L g 1 h 2 .x/ D

@x 1 g 11 C @x 2 g 12 C @x 3 g 13 C