Intuitionistic Fuzzy Aggregation Techniques - Intuitionistic Fuzzy Aggregation and Clustering - page 69

GIFWBM p , q , r

(α 1 ,α 2 ,...,α n )

⎛
⎝

⎛

α k w i w j w k ⎞

1

p + q + r

n

1

⎝ 1

p q r

⎠

= − − μ

α i μ α j μ

,

i , j , k = 1

⎛
⎝

⎞
⎠

1

p + q + r

n

1

r w i w j w k p q

− − − ( −

v α i )

( −

v α j )

( −

v α k )

,

1 1 1 1 1

i , j , k = 1

i = j = k

⎛
⎝

⎞
⎠

1
p + q + r

n

1

r w i w j w k p q

1 − − ( 1 − v α i ) ( 1 − v α j ) ( 1 − v α k )

i , j , k = 1

i = j = k

p + q + r ⎞
⎠

⎛

k w i w j w k ⎞

1

n

1

⎝ 1

p
α

q
α

r
α

⎠

− − − μ μ μ (1.155)

i j

i , j , k = 1

Proof By the operational laws for IFVs, we have

p

p p p p

α = (μ

α i ,

1 − ( 1 − v α i ) ,( 1 − v α i ) − μ

α i )

(1.156)

i

q
j

q q q q

α = (μ

α j ,

1 − ( 1 − v

α j )

,( 1 − v

α j )

− μ

α j )

(1.157)

r r

α

r r r

α

α

k = (μ

, 1 − ( 1 − v α k ) ,( 1 − v α k ) − μ ) (1.158)

k k

and

p
i

q
j

r p q r p q r

α ⊗ α ⊗ α

k =

μ

α i μ α j μ α k ,

1 − ( 1 − v α i ) ( 1 − v α j ) ( 1 − v α k ) ,

α k

p q r p q r

( −

v α i )

( −

v α j )

( −

v α k )

− μ

α i μ α j μ

1 1 1 (1.159)

then

w i w j w k

k

n
⊕

p q

j

r

α ⊗ α ⊗ α

i

i , j , k = 1

⎛
⎝ 1

n

1

k w i w j w k

p
α

q
α

r
α

= − − μ μ μ ,

i j

i , j , k = 1