Intuitionistic Fuzzy Aggregation Techniques - Intuitionistic Fuzzy Aggregation and Clustering - page 126

⎛ ⎞

p − 1

α ) 1

p − μ α λ α

⎝

p − 1 − t t

⎠

v H p + 1

κ α ,λ α (α) =

v

α + (

1 − v − ( 1 − λ α )

0 κ

( 1 − λ α )

α

t =

⎛

v α ) 1

p

⎝ 1

p

+ λ α − κ

α μ α −

v α − ( 1 − − ( 1 − λ α )

⎛ ⎞ ⎞

p − 1

⎝

p − 1 − t t

⎠ ⎠

+ μ α λ α

0 κ

( 1 − λ α )

α

t =

v α ) 1 + λ α − λ α 1

p p

= v α + ( 1 − − ( 1 − λ α ) − ( 1 − λ α )

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

p − 1

⎝ ⎝

p − 1 − t t + 1

⎠ + κ

p
α

⎠

− μ α λ α

0 κ

( 1 − λ α )

α

t =

p

t

1

1

p + p − t

= v

α + (

1 − v

α )

− ( 1 − λ α ) − μ α λ α

0 κ

( 1 − λ α )

α

t =

(1.309)

and thus, (4) holds for n = p + 1. Therefore, (4) holds for all n .

(5) For n = 1, we have

H ∗ , 1

κ α ,λ α (α) =

μ H ∗ , 1

κ α ,λ α (α) ,

v H ∗ , 1 = (κ α μ α , v

α + λ α (

1 − κ α μ α − v

α ))

κ α ,λ α (α)

1

1

1

= κ

α μ α ,

v

α + (

1 − ν α ) − ( 1 − λ α )

1 − 1

t 1 − 1 − t

α

− μ α κ α λ α

0 κ

− λ α )

( 1 (1.310)

t =

=

For n 2, we have

2

μ H ∗ , 2

κα ,λα ( α ) = κ

α μ α

(1.311)

v H ∗ , 2

κ α ,λ α (α) =

v

α + λ α (

1 − κ α μ α − v

α )

1

2

+ λ α − κ

α μ α −

v

α − λ α (

1 − κ α μ α − v

α )

= v

α + (

1 − v

α )(λ α + λ α (

1 − λ α )) − μ α κ α λ α ( 1 + κ α − λ α )

2 − 1

t

1

2

2 − 1 − t

= v

α + (

1 − v

α )

− ( 1 − λ α ) − μ α κ α λ α

0 κ

( 1 − λ α )

α

t =

(1.312)

Suppose it is true for n = p , that is,