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k
= 1
k
= 2
k
Abbildung 6.1: Kreise für verschiedene Abstandsfunktionen.
Die Aktivierungsfunktion jedes versteckten Neurons ist eine, wie wir sie nennen wollen,
radiale Funktion
,d.h.einemonotonfallendeFunktion
f
:IR
0
[0, 1]
mit
f
(0)=1
und
f
(
x
)=0.
lim
x
Die Aktivierungsfunktion jedes Ausgabeneurons ist eine lineare Funktion, nämlich
f
(
u
)
act
(
net
u
,
u
)=
net
u
u
.
Man beachte, dass Radiale-Basisfunktionen-Netze genau drei Schichten haben
und dass die Eingabeschicht und die versteckte Schicht wegen der Abstandsberech-
nung immer vollständig verbunden sind.
Durch die Netzeingabefunktion und die Aktivierungsfunktion eines versteckten
Neurons wird eine Art „Einzugsgebiet“ dieses Neurons beschrieben. Die Gewichte
der Verbindungen von der Eingabeschicht zu einem Neuron der versteckten Schicht
geben das
Zentrum
dieses Einzugsgebietes an, denn der Abstand (Netzeingabefunk-
tion) wird ja zwischen dem Gewichtsvektor und dem Eingabevektor gemessen. Die
Art der Abstandsfunktion bestimmt die Form des Einzugsgebiets. Um das zu ver-
deutlichen, betrachten wir die Mitglieder der Familie von Abstandsfunktionen, die
durch
1
k
n
i
=
1
(
x
i
y
i
)
k
d
k
(
x
,
y
)=
.
definiert ist. Bekannte Spezialfälle aus dieser Familie sind:
k
= 1: Manhattan-oderCity-Block-Abstand,
k
= 2: EuklidischerAbstand,
k
: M imum-A nd,d. .
d
(
x
,
y
)=max
i
=1
|
x
i
y
i
|.
Abstandsfunktionen wie diese lassen sich leicht veranschaulichen, indem man
betrachtet, wie mit ihnen ein Kreis aussieht. Denn ein Kreis ist ja definiert als die
Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt einen bestimmten festen Ab-
stand haben. Diesen festen Abstand nennt man den
Radius
des Kreises. Für die drei
Spezialfälle wie o. a. sind Kreise in Abbildung 6.1 gezeigt. Alle drei Kreise haben den
gleichen Radius. Mit diesen Beispielen erhalten wir unmittelbar einen Eindruck von
den möglichen Formen des Einzugsgebietes eines versteckten Neurons.
