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Folglich ist
Y
y
y
=
e
a
+
bx
.
Durch Logarithmieren dieser Gleichung erhalten wir
Y
y
y
ln
=
a
+
bx
.
Diese Gleichung können wir durch Bestimmen einer Ausgleichsgerade behandeln,
wenn wir die
y
-Werte der Datenpunkte entsprechend der linken Seite dieser Glei-
chung transformieren. (Man beachte, dass dazu der Wert von
Y
bekannt sein muss,
der i.W. eine Skalierung bewirkt.) Diese Transformation ist unter dem Namen
Logit-
Tr a n s f o rma t i o n
bekannt. Sie entspricht einer Umkehrung der logistischen Funktion.
Indem wir für die entsprechend transformierten Datenpunkte eine Ausgleichsgera-
de bestimmen, erhalten wir eine logistische Ausgleichskurve für die Originaldaten.
5
Zur Veranschaulichung des Vorgehens betrachten wir ein einfaches Beispiel. Ge-
geben sei der aus den fünf Punkten (
x
1
,
y
1
),...,(
x
5
,
y
5
) bestehende Datensatz, der
in der folgenden Tabelle gezeigt ist:
x
1
2
3
4
5
y
0.4
1.0
3.0
5.0
5.6
Wir transformieren diese Daten mit
Y
y
y
z
=
ln
,
Y
=
6.
Die transformierten Datenpunkte sind (näherungsweise):
x
1
2
3
4
5
z
2.64
1.61
0.00
1.61
2.64
Um das System der Normalgleichungen aufzustellen, berechnen wir
5
i
=1
x
i
=
15,
5
i
=1
x
i
=
55,
5
i
=1
z
i
=
0,
5
i
=1
x
i
z
i
13.775.
Damit erhalten wir das Gleichungssystem (Normalgleichungen)
5
a
+
15
b
=
0,
15
a
+
55
b
=
13.775,
das die Lösung
a
4.133 und
b
1.3775 besitzt. Die Ausgleichsgerade für die
transformierten Daten ist daher
z
4.133
1.3775
x
5
Man beachte wieder, dass bei diesem Vorgehen zwar die Fehlerquadratsumme im transformierten
Raum (Koordinaten
x
und
z
=
ln
Y
y
y
), aber damit nicht notwendig die Fehlerquadratsumme im Ori-
ginalraum (Koordinaten
x
und
y
)minimiertwird.
