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Abbildung 5.8: Annäherung ei-
ner stetigen Funktion durch eine
Treppenfunkt ion.
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Abbildung 5.9: Ein neuronales Netz, das die Treppenfunktion aus Abbildung 5.8 be-
rechnet. („id“ statt eines Schwellenwertes bedeutet, dass dieses Neuron die Identität
statt einer Schwellenwertfunktion benutzt.)
alle Riemann-integrierbaren Funktionen durch vierschichtige Perzeptren beliebig ge-
nau annähern kann, indem man lediglich im Ausgabeneuron die Sprungfunktion
durch die Identität ersetzt.
Die Idee ist in den Abbildungen 5.8 und 5.9 für eine einstellige Funktion veran-
schaulicht: Die zu berechnende Funktion wird durch eine Treppenfunktion angenä-
hert (siehe Abbildung 5.8). Für jede Stufengrenze
x
i
wird ein Neuron in der ersten
versteckten Schicht eines insgesamt vierschichtigen Perzeptrons angelegt (siehe Ab-
bildung 5.9). Dieses Neuron hat die Aufgabe, zu bestimmen, auf welcher Seite der
Stufengrenze ein Eingabewert liegt.
In der zweiten versteckten Schicht gibt es für jede Stufe ein Neuron, das Eingaben
von den Neuronen erhält, denen die Werte
x
i
und
x
i
+1
zugeordnet sind, die die Stufe
begrenzen (siehe Abbildung 5.9). Die Gewichte und der Schwellenwert sind so ge-
wählt, dass das Neuron aktiviert wird, wenn der Eingabewert größer-gleich
x
i
aber
kleiner als
x
i
+1
ist, also wenn der Eingabewert im Bereich der Stufe liegt. Man beach-
te, dass so immer nur genau ein Neuron der zweiten versteckten Schicht aktiv sein
kann, nämlich dasjenige, das die Stufe repräsentiert, in der der Eingabewert liegt.
