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P
(
c
)
(1
=
v
\
c
Marginalisierung
D
C
D
(proj
D
(
v
))
Zerlegung von
P
(
v
)
(2
=
C
(
c
)
v
\
c
D
=
C
D
(
proj
D
(
v
))
(3
=
C
(
c
)
D
=
C
D
(proj
D
(
v
))
B
adj(
C
)
r
BC
(4
=
C
(
c
)
D
(
proj
D
(
v
))
B
adj
(
C
)
r
BC
D
C
BC
M
B
C
(
s
BC
)
B
adj
(
C
)
=
C
(
c
)
M
B
C
(
s
BC
)
(1) Der Vektor
v
ist auf allen Attributen definiert. Da wir nur an den Attributen
in
C
interessiert sind, marginalisieren wir über alle restlichen Attribute bzw.
deren Wertekombinationen
v
\
c
.DasProduktistdieAnwendungderDefiniti-
on 24.7 von Seite 393 zur Zerlegung einer Verteilung anhand eines ungerichte-
ten Graphen.
(2) Das Produkt in (1) lief über alle Cliquen, inklusive
C
.DieserFaktorwirdnun
aus dem Produkt herausgezogen und da es von der Summe unbeeinflusst ist,
ebenfalls aus der Summe herausgenommen.
(3) Wir vereinfachen nun die Marginalisierung. Anstatt über alle Wertkombinatio-
nen
v
c
zu laufen, nutzen wir folgenden Zusammenhang, den wir aus den Se-
parationen der Running Intersection Property aus Gleichung 23.1 auf Seite 376
ableiten. Angewandt auf einen Verbundbaum erhalten wir:
\
V
\
C
=
X
BC
\
C
=
(
X
BC
\
C
)=
R
BC
B
adj(
C
)
B
adj(
C
)
B
adj(
C
)
Der Summenlaufindex
B
adj
(
C
)
r
BC
bedeute hier die Iteration über alle Wert-
kombinationen der Attribute in allen
R
BC
.
(4) Die Summe wird aufgeteilt, indem die Residuen den entsprechenden Nachbar-
cliquen zugeordnet werden. Die so entstehenden Faktoren sind die Ausgangs-
form der zu sendenden Nachrichten.
