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sein muss. Man nennt die Implikation 23.2 auch das Axiom der starken Vereini-
gung [Pearl u. Paz 1987]. Zum anderen erfüllt laut Satz 24.1 die bedingte Unabhän-
gigkeit in allgemeinen Verteilungen nur die Semi-Graphoid-Axiome. Daher können
Ableitungen, die dem Schnittaxiom entsprechen schon zu falschen Schlüssen führen,
was ebenfalls an einem Beispiel erläutert werden soll.
Beispiel 24.1 (bedingte Unabhängigkeit erfüllt i. A. nicht das Schnittaxiom)
Wir betrachten die folgende (nicht strikt positive) dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsver-
teilung über die binären Attribute A, B und C mit P
(
A
=
a
1
,
B
=
b
1
,
C
=
c
1
)=
P
(
A
=
a
2
,
B
=
b
2
,
C
=
c
2
)=0.5
(alle anderen Wertkombinationen haben die Wahrscheinlichkeit
Null). In dieser Verteilung gelten u. a. die folgenden bedingten Unabhängigkeiten:
A
B
|
C
,
A
C
|
B d B
C
|
A
Die macht man sich leicht klar: Die linke Tabelle stellt die Verteilung p
ABC
dar, die beiden
anderen zweidimensionalen bedingten Verteilungen gegeben das Attribut C. Beide Verteilun-
gen zeigen außerdem die bedingten Randverteilungen p
A
|
C
und p
B
|
C
.
c
1
c
2
p
AB
|
c
1
a
1
a
2
b
1
101
b
2
000
10
p
AB
|
c
2
a
1
a
2
b
1
000
b
2
011
01
p
ABC
a
1
a
2
a
1
a
2
1
2
b
1
0 00
1
2
b
2
000
Offensichtlich gilt (auch für die anderen Attributkombinationen) folgender Zusammenhang,
was genau den o. a. bedingten Unabhängigkeiten entspricht:
a
dom(
A
) :
b
dom(
B
) :
c
dom(
C
) :
P
(
A
=
a
,
B
=
b
|
C
=
c
)=
P
(
A
=
a
|
C
=
c
) ·
P
(
B
=
b
|
C
=
c
)
Wenden wir das Schnittaxiom (mit Z
=
)paarweiseaufdieobigenUnabhängigkeitenan,
so schließen wir:
p
AB
p
AB
a
1
a
2
a
1
a
2
W
X
Y
Schluss
1
2
1
2
1
4
1
4
1
2
b
1
0
b
1
{
A
}
{
C
}
{
B
}
AC
B
|
1
2
1
2
1
4
1
4
1
2
{
A
}
{
B
}
{
C
}
AB
C
|
b
2
0
b
2
{
B
}
{
C
}
{
A
}
BC
A
|
1
2
1
2
1
2
1
2
Wenden wir schließlich das Zerlegungsaxiom auf die eben gefolgerten Unabhängigkeiten, so
enden wir mit den folgenden Aussagen:
A
B
|
,
B
C
|
und
C
A
|
Keine der drei (hier: marginalen) Unabhängigkeiten gilt jedoch in p
ABC
,wiemanleichtüber-
prüft. So lässt sich die Verteilung p
AB
eben nicht aus den beiden Randverteilungen p
A
und
p
B
berechnen, wie der Vergleich zwischen p
AB
und p
AB
zeigt. Für alle anderen Attributkom-
binationen gilt dies ebenfalls.
