Information Technology Reference
In-Depth Information
W
X
ZY
W
ZY
Zerlegung:
X
ZY
W
X
ZY
X
ZY
Schwache Vereinigung:
W
W
ZY
X
ZY
X
ZY
Zusammenziehung:
W
W
X
ZY
X
ZY
X
ZY
Schnitt:
Abbildung 24.1: Illustration der Graphoid-Axiome und der Trennung in Graphen.
Definition 24.2
Sei V
= {
A
1
,...,
A
n
}
eine Menge von Attributen. Weiterhin sei p eine
Ve r t e i l ung üb e r d en At t r i bu t en V . Dann s t eh e
I
p
2
V
2
V
2
V
für die Menge aller
(bedingter) Unabhängigkeitsaussagen, die in p gelten.
Definition 24.3
Sei V
= {
A
1
,...,
A
n
}
eine Menge von Knoten. Weiterhin sei G ein unge-
richteter Graph mit Knotenmenge V. Dann stehe
I
G
für die Menge aller Separationsaussa-
gen, die sich durch u-Separation aus G ablesen lassen.
Definition 24.4
Sei V
= {
A
1
,...,
A
n
}
eine Menge von Knoten. Weiterhin sei G ein ge-
richteter, azyklischer Graph mit Knotenmenge V. Dann stehe
I
G
für die Menge aller Separa-
tionsaussagen, die sich durch d-Separation aus G ablesen lassen.
Hat man eine Menge von Axiomen A gegeben, so lassen sich aus einer gegebenen
Menge I von bedingten Unabhängigkeitsaussagen rein syntaktisch weitere (mögli-
cherweise noch nicht in I enthaltene) Aussagen ableiten. Lässt sich eine Aussage
I
vermöge A aus I ableiten, so schreiben wir:
I
A
I
Folgt eine bedingte Unabhängigkeitsaussage
I
semantisch (im Rahmen einer zu-
grunde liegenden Theorie T )auseinerMengeI von Aussagen, so notieren wir dies
mit
I
T
I
.
In unserem Fall sind die mit
T
bezeichneten Theorien bzw. Begriffe die Wahrschein-
lichkeitstheorie, die u- und die d-Separation. Die semantische Folgerbarkeit einer
bedingten Unabhängigkeit
I
aus einer Menge von Unabhängigkeitsaussagen I be-
deutet dann, dass
I
in allen Verteilungen gelten muss, in denen auch sämtliche Aus-
sagen aus I gelten:
P
I
p
:
II
p
I
I
p
Analog wird auch die semantische Folgerbarkeit in Graphen definiert.
Es stellt sich bei einem Axiomensystem immer die Frage, inwieweit Ableitungen
korrekt
und
vollständig
sind, d. h. inwieweit jede ableitbare Aussage im Rahmen der
I
