Information Technology Reference
In-Depth Information
Definition 23.8 ((Wahrscheinlichkeits-)Verteilung)
Eine Zufallsvariable X, deren Wertevorrat
dom
(
X
)
nur endlich oder abzählbar unendlich
ist, heißt diskret. Die Gesamtheit p
X
aller Zahlenpaare
x
i
,
P
(
X
=
x
i
)
x
i
dom(
X
)
mit
heißt
(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung
der diskreten Zufallsvariablen X und verwenden
die Notation
p
X
(
x
i
)=
P
(
X
=
x
i
)
für alle x
i
dom(
X
).
Die Generalisierung dieses Verteilungsbegriffes auf Mengen von Zufallsvariablen ist
offensichtlich und wird nicht explizit angegeben.
Bisher wurde die Mehrdimensionalität über Vektoren beschrieben. Die Wertkom-
binationen wären demnach folglich Vektoren, also Elemente des kartesischen Pro-
duktes der Wertebereiche der einzelnen Zufallsvariablen. Um später die Notation
zu vereinfachen, wollen wir uns frei machen von der inhärenten Ordnung, die solch
einem kartesischen Produkt zugrunde liegt. Wir wählen daher den Weg, ein Tupel
(welches fortan anstelle eines Vektors verwendet wird) als Funktion auf der
Menge
der Zufallsvariablen zu definieren. Auf diese Weise wird die Reihenfolge der Zufalls-
variablen irrelevant.
Definition 23.9 (Tupel)
Sei V
= {
A
1
,...,
A
n
}
eine endliche Menge von Zufallsvariablen
mit den Wertebereichen
dom(
A
i
)
,i
= 1, . . . ,
n. Eine
Instanziierung
der Zufallsvariablen
in V oder ein
Tupe l
über V ist eine Abbildung
t
V
:
V
dom
(
A
)
,
A
V
die die folgende Bedingung erfüllt:
A
V
:
t
V
(
A
) dom(
A
)
Die Fettschreibung wird verwendet, um anzudeuten, dass das Tupel mehr als einer
Variable einen Wert zuweist. Ist ein Tupel auf nur einer Variable erklärt, werden wir
die skalare Schreibweise verwenden:
t
.SolltedieMenge
V
aus dem Kontext klar
sein, werden wir den Index weglassen. Ein Tupel über der Zufallsvariablenmenge
{
A
,
B
,
C
},welches
A
den Wert
a
1
,
B
den Wert
b
2
und
C
den Wert
c
2
zuweist, schrei-
ben wir als
t
=
A
a
1
,
B
b
2
,
C
c
2
,
oder kürzer (wenn man anhand des Wertes das Attribut feststellen kann):
t
=(
a
1
,
b
2
,
c
2
)
Für die Gleichheit zweier Tupel müssen beide auf denselben Variablenmengen er-
klärt sein und dieselben Werte liefern:
V
=
U
A
V
:
t
(
A
)=
t
t
V
=
t
U
(
A
)
Den Wertebereich eines Tupels schränken wir mit einer Projektion ein, die wie folgt
definiert ist.
