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diesen Attributen Werte zuzuordnen, bedient man sich Funktionen, die auf de-
finiert sind und in einen jeweils geeigneten Wertebereich (z. B.
{
mannlich, weiblich
}
oder
{
Inf , Math, BWL,...
}
)abbilden.DasUrbildeinersolchenFunktionisteineMen-
ge von Elementarereignissen (z. B. die Menge aller Studenten, die Informatik studie-
ren oder alle weiblichen Studenten). Stellen alle diese Urbilder auch Ereignisse (im
Sinne der zugrunde liegenden Ereignisalgebra) dar, so nennt man diese Funktionen
Zufallsvariablen
.
Definition 23.6 ((Diskrete) Zufallsvariable)
Eine auf einem Ereignisraum
definierte
Funktion X mit Wertebereich
dom(
X
)
heißt
Zufallsvariable
,wenndasUrbildjederTeil-
menge ihres Wertebereichs eine Wahrscheinlichkeit besitzt. Eine Teilmenge W
dom(
X
)
hat unter X das Urbild
X
1
(
W
)={
|
X
(
)
W
}
Abk
= {
X
W
}
.
Man beachte, dass es sich trotz des Namens Zufalls
variable
und trotz der übli-
chen Benennung mit Großbuchstaben um Funktionen handelt. Im weiteren Verlauf
bezeichnen wir den Wertebereich einer Zufallsvariable
X
(bzw. den Wertebereich
einer jeden Funktion) mit dom
(
X
)
(von engl.
domain
). Das Konzept der Zufallsvaria-
blen lässt sich auch auf Mengen von Zufallsvariablen verallgemeinern.
Definition 23.7 (Zufallsvektor)
Seien X
1
,...,
X
n
Zufallsvariablen, die alle auf derselben
Grundgesamtheit
und derselben Ereignisalgebra
S
definiert sind, dann heißt der Vek-
tor X
=(
X
1
,...,
X
n
)
Zufallsvektor
.
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Ausprägung eines Zufallsvek-
tors werden wir die folgende konjunktive Interpretation. Gleichzeitig führen wir ei-
ne Reihe von abkürzenden Schreibweisen ein:
n
i
=1
x
dom(
X
i
) :
P
(
X
=
x
)
P
(
x
)
P
(
x
1
,...,
x
n
)
P
(
X
1
=
x
1
,...,
X
n
=
x
n
)
n
P
X
i
=
x
i
i
=1
n
:
=
P
{
X
i
=
x
i
}
i
=1
X
1
(
x
1
) ···
X
n
(
x
n
)
=
P
Haben wir eine Menge von Zufallsvariablen gegeben, so können wir uns die
Einzelwahrscheinlichkeiten der einzelnen Wertkombinationen als strukturierte Be-
schreibung des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraumes vorstellen und wer-
den diese als Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnen. Wir definieren diese zuerst
für eine einzelne Zufallsvariable.
