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Satz 23.2
Seien U, V und W nichtleere Mengen von Ereignissen mit U
=
V
Wund
V
W
=
.Danngilt
P
A
=
P
A
A
·
P
A
.
A
U
A
V
A
W
A
W
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit hat alle Eigenschaften einer Wahrscheinlich-
keit, d. h., sie erfüllt die Kolmogorow-Axiome. Damit gilt:
Satz 23.3
Für ein fest gewähltes Ereignis B mit P
(
B
)
>
0
stellt die durch
P
B
(
A
)=
P
(
A
|
B
)
definierte Funktion P
B
eine Wahrscheinlichkeit dar, die die Bedingung P
B
(
B
)=0
erfüllt.
Definition 23.5 (Vollständige Ereignisdisjunktion)
Sei U eine Menge von Ereignis-
sen. Die Ereignisse in U bilden eine vollständige Ereignisdisjunktion, wenn alle Ereignisse
paarweise unvereinbar sind (d. h., wenn
A
,
B
U
:
A
=
B
A
B
=
gilt) und wenn
gilt
A
U
=
,siealsozusammendenganzenEreignisraumabdecken.
Satz 23.4 (Vollständige Wahrscheinlichkeit)
Sei U eine Menge von Ereignissen, die ei-
ne vollständige Ereignisdisjunktion bilden. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit eines belie-
bigen Ereignisses B
P
(
B
)=
A
U
P
(
B
|
A
)
P
(
A
).
Te i l t man d i e re cht e Gl e i chung aus Sa t z 23 . 4 durch
P
(
B
)
und ersetzt selbigen Term
durch seine vollständige Ereignisdisjunktion, so erhält man den Satz von Bayes.
1
Satz 23.5 (Satz von Bayes)
Sei U eine Menge von Ereignissen, die eine vollständige Ereig-
nisdisjunktion bilden. Weiterhin sei B ein Ereignis mit P
(
B
)
>
0
.Danngilt
A
U
:
P
(
A
|
B
)=
P
(
B
|
A
)
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
B
|
A
)
P
(
A
)
A
U
P
(
B
|
A
)
P
(
A
)
=
.
Diese Formel heißt auch die Formel über die Wahrscheinlichkeit von Hypothesen,
da man mit ihr die Wahrscheinlichkeit von Hypothesen, z. B. über das Vorliegen ver-
schiedener Krankheiten bei einem Patienten, berechnen kann, wenn man weiß, mit
welcher Wahrscheinlichkeit die verschiedenen Hypothesen (hier:
A
)zudenEreignis-
sen
B
U
(z. B. Krankheitssymptomen) führen.
23.1.1 Zufallsvariablen und -vektoren
Bisher haben wir die Elemente der Grundgesamtheit zu Mengen (Ereignissen) zu-
sammengefasst, ohne jedoch eine konkrete Vorschrift für die z. B. in
A
befindlichen
Elemente anzugeben. Des Weiteren fehlt uns noch die Möglichkeit, Eigenschaften
der Elemente der Grundgesamtheit anzugeben. Angenommen, die Grundgesamt-
heit sei die Menge aller Studierenden der Universität Magdeburg. Dann interes-
sieren uns beispielsweise die Attribute Geschlecht, Jahrgang und Studiengang.Um
1
Auch: Bayesscher Satz, Bayesian Theorem.
