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Die Kolmogorow-Axiome sind widerspruchsfrei, da es Systeme gibt, die allen
diesen Axiomen genügen. Die Axiomatik von Kolmogorow gestattet es, die Wahr-
scheinlichkeitstheorie als Teil der Maßtheorie aufzubauen und die Wahrscheinlich-
keit als nicht-negative normierte additive Mengenfunktion, d. h. als Maß zu inter-
pretieren.
Da die Definitionen für Ereignisalgebra und Kolmogorow-Axiome nicht eindeu-
tig sind, sondern jeweils eine Klasse vonMengensystemen bzw. Funktionen beschrei-
ben, muss man für eine konkrete Anwendung die jeweils gewählten Objekte spezifi-
zieren, was mit dem Begriff eines
Wahrscheinlichkeitsraumes
geschieht.
Definition 23.3 (Wahrscheinlichkeitsraum)
Sei
ein Ereignisraum,
S
eine -Algebra
über
und P eine auf
S
erklärte Wahrscheinlichkeit. Dann nennt man das Tripel
(, S,
P
)
einen
Wahr s che i n l i chke i t s r aum
.
Bisher haben wir allein die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet, oh-
ne jedoch auf die Änderung derselben einzugehen, die stattfinden kann, wenn neue
Informationen (in Form von wiederum Ereignissen) bekannt werden. D. h., wir fra-
gen erneut nach der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, nachdem wir Kenntnis
über das (Nicht-)Eintreten eines oder mehrerer anderer Ereignisse erlangt haben.
Definition 23.4 (Bedingte Wahrscheinlichkeit)
Seien A und B beliebige Ereignisse mit
P
(
B
)
>
0
.Dannheißt
P
(
A
|
B
)=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
die
bedingte Wahrscheinlichkeit
von A gegeben (die Bedingung) B.
Hieraus lässt sich der folgende Satz ableiten:
Satz 23.1 (Produktsatz/Multiplikationssatz)
Für beliebige Ereignisse A und B gilt
P
(
A
B
)=
P
(
A
|
B
) ·
P
(
B
)=
P
(
B
|
A
) ·
P
(
A
)
.
Für eine Menge
U
von Ereignissen zusammen mit einer auf ihnen erklärten beliebi-
gen totalen Ordnung
, lässt sich durch einfache Induktion über die Ereignisse die
Ve r a l l geme i ne rung de s Mu l t i p l i ka t i ons s a t z e s a b l e i t en :
=
A
U
P
P
A
A
B
A
U
B
A
Sollte es kein
B
U
mit
B
A
geben, ist der Schnitt in der Bedingung der rechten
Seite nicht etwa leer, sondern wird gar nicht erst ausgeführt, was zu einem implizi-
ten führt:
P
A
B
=
P
A
B
=
P
(
A
|
)=
P
(
A
)
B
A
B
A
Für
U
= {
A
,
B
}
mit
B
A
folgt der obige Satz 23.1. Des Weiteren lassen sich auch
mehrere Ereignisse als Bedingung verwenden.
