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i
=1
A
i
•
Gehört für alle i
IN
das Ereignis A
i
zu
S
,danngehörenauchdieEreignisse
i
=1
A
i
zu
S
.
und
In diesem Fall nennt man
S
eine
-Algebra
.
In der Semantik der Ereignisse bedeutet
A
B
das Ereignis, das eintritt, wenn
A
oder
B
eintritt. Der Schnitt
A
B
tritt ein genau dann, wenn
A
und
B
eintreten
und das Komplement
A
tritt ein genau dann, wenn
A
nicht eintritt. Zwei Ereignisse
A
und
B
nennt man genau dann
unvereinbar
,wennsienichtzusammeneintreten
können, d. h. wenn ihr Schnitt das unmögliche Ereignis liefert:
A
B
= .
Um einem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuzuweisen, bedient man sich der
sog. Kolmogorow-Axiome:
Definition 23.2 (Kolmogorow-Axiome)
Sei
E
eine Ereignisalgebra über einem endlichen
Ereignisraum
.
•
Die
Wahr s che i n l i chke i t
P
(
A
)
eines Ereignisses A
S
ist eine eindeutig bestimmte,
nicht-negative Zahl, die höchstens gleich Eins sein kann, d. h., es gilt
0
P
(
A
) 1
.
•
Das sichere Ereignis
besitzt die Wahrscheinlichkeit Eins: P
(
)=
1
• Additionsaxiom
:SinddieEreignisseAundBunvereinbar(giltalsoA
B
=
), so
gilt P
(
A
B
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)
.
Bei Ereignisräumen
,dieunendlichvieleElementarereignisseenthalten,muss
S
eine -
Algebra sein und das Additionsaxiom ersetzt werden durch:
•
erweitertes Additionsaxiom
:SindA
1
,
A
2
,...
abzählbar unendlich viele, paarweise
unvereinbare Ereignisse, so gilt
i
=1
A
i
.
P
A
i
=
i
=1
Allein aus diesen drei Axiomen lassen sich u. a. die folgenden Eigenschaften ab-
leiten:
•
A
E:
P
(
A
)=1
P
(
A
)
•
P
(
)=
0
• Für paarweise unvereinbare Ereignisse
A
1
,...,
A
n
gilt:
n
n
i
=
1
P
(
A
i
)
P
(
A
i
)=
i
=
1
• Für beliebige (nicht notwendigerweise unvereinbare) Ereignisse
A
und
B
gilt:
P
(
A
B
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)
P
(
A
B
)