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i =1 A i
Gehört für alle i IN das Ereignis A i zu S ,danngehörenauchdieEreignisse
i =1 A i zu S .
und
In diesem Fall nennt man S eine -Algebra .
In der Semantik der Ereignisse bedeutet A B das Ereignis, das eintritt, wenn
A oder B eintritt. Der Schnitt A B tritt ein genau dann, wenn A und B eintreten
und das Komplement A tritt ein genau dann, wenn A nicht eintritt. Zwei Ereignisse
A und B nennt man genau dann unvereinbar ,wennsienichtzusammeneintreten
können, d. h. wenn ihr Schnitt das unmögliche Ereignis liefert: A B = .
Um einem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuzuweisen, bedient man sich der
sog. Kolmogorow-Axiome:
Definition 23.2 (Kolmogorow-Axiome) Sei E eine Ereignisalgebra über einem endlichen
Ereignisraum .
Die Wahr s che i n l i chke i t P ( A ) eines Ereignisses A S ist eine eindeutig bestimmte,
nicht-negative Zahl, die höchstens gleich Eins sein kann, d. h., es gilt 0 P ( A ) 1 .
Das sichere Ereignis besitzt die Wahrscheinlichkeit Eins: P ( )= 1
• Additionsaxiom :SinddieEreignisseAundBunvereinbar(giltalsoA B = ), so
gilt P ( A B )= P ( A )+ P ( B ) .
Bei Ereignisräumen ,dieunendlichvieleElementarereignisseenthalten,muss S eine -
Algebra sein und das Additionsaxiom ersetzt werden durch:
erweitertes Additionsaxiom :SindA 1 , A 2 ,... abzählbar unendlich viele, paarweise
unvereinbare Ereignisse, so gilt
i =1 A i .
P
A i
=
i =1
Allein aus diesen drei Axiomen lassen sich u. a. die folgenden Eigenschaften ab-
leiten:
A E: P ( A )=1 P ( A )
P ( )= 0
• Für paarweise unvereinbare Ereignisse A 1 ,..., A n gilt:
n
n
i = 1 P ( A i )
P (
A i )=
i = 1
• Für beliebige (nicht notwendigerweise unvereinbare) Ereignisse A und B gilt:
P ( A B )= P ( A )+ P ( B ) P ( A B )
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