Grundlagen der Wahrscheinlichkeits- und Graphentheorie - Computational Intelligence - page 338

Kapitel 23
Grundlagen der
Wahrscheinl ichkei ts- und
Graphentheorie
23.1 Wahrscheinlichkeitstheorie
Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff und die Interpretation als relative Häufig-
keit sind stark in unserer Intuition verwurzelt. Die moderne Mathematik hat sich
jedoch die axiomatische Methode zu eigen gemacht, bei der von der Bedeutung der
Objekte, über die man spricht, abstrahiert wird. Sie nimmt Objekte als gegeben an,
die keine anderen Eigenschaften haben als ihre Identität (d. h., sie sind voneinander
unterscheidbar), und untersucht lediglich die Struktur der Relationen zwischen die-
sen Objekten, die sich aus vorausgesetzten Axiomen ergibt. Auch die Wahrschein-
lichkeitstheorie wird daher heute axiomatisch aufgebaut, und zwar über die sog.
Kolmogorow-Axiome [Kolmogorov 1933]. Unter einemEreignis wird in diesen Axio-
men einfach eine Menge von Elementarereignissen verstanden, die unterscheidbar
sind, d. h. eine Identität haben. Eine Wahrscheinlichkeit ist dann eine Zahl, die einem
Ereignis zugeordnet wird, sodass das System dieser Zahlen bestimmten Bedingun-
gen genügt, die in den Axiomen festgelegt sind. Zunächst definieren wir jedoch die
grundlegenden Begriffe Ereignisalgebra und -Algebra .
Definition 23.1 (Ereignisalgebra) Sei ein Ereignisraum (also eine Grundgesamtheit
von Elementarereignissen). Ein Mengensystem S über heißt Ereignisalgebra genau
dann, wenn folgende Bedingungen gelten:
• Das sichere Ereignis und das unmögliche Ereignis sind in S .
• Für jedes A S gehört auch das Komplement A = \ Azu S .
• Liegen A und B in S ,soliegenauchA BundA Bin S .
Es kann außerdem die folgende Bedingung erfüllt sein: