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Abbildung 21.2: Verlauf der Zugehörigkeitsgrade zwischen zwei Clustern mit Fuzzi-
fier
m
= 1.5 (links) und
m
= 2(rechts)
Zugehörigkeitsgrad zugeordnet. Für
m
1gehendieZugehörigkeitsgradegegen
die (scharfen) Werte 0 oder 1. Je kleiner
m
(mit
m
>
1) gewählt wird, desto „weniger
fuzzy“ wird die Clustereinteilung. Eine übliche Wahl des Fuzzifiers ist
m
=
2.
Abbildung 21.2 zeigt den Verlauf der Zugehörigkeitsgrade zwischen zwei Clu-
stern für die Belegung des Fuzzifiers mit den Werten
m
=
1.5 und
m
=
2. Die Clu-
sterzentren liegen jeweils bei 0 und 1. Beim größeren Fuzzifier
m
=
2ergibtsicheine
stärkere Überlappung der Cluster als bei dem kleineren Wert
m
=
1.5.
Für die Minimierung der Zielfunktion (21.2) beim Fuzzy-Clustering wird ein
entsprechendes alternierendes Optimierungsverfahren wie bei dem klassischen
c
-
Means-Algorithmus. Die Neuberechnung der Prototypen erfolgt nach Gleichung
(21.5), während Gleichung (21.6) für die Aktualisierung der Zugehörigkeitsgrade
verwendet wird.
Auch dieses alternierende Optimierungsverfahren konvergiert, da der Werte der
Zielfunktion in jedem Schritt verringert wird. Allerdings konvergiert das Verfahren
nur in dem Sinne, dass die Änderungen der Prototypen und der Zugehörigkeitsgra-
de gegen 0 gehen, sich aber trotzdem in jedem Schritt noch minimale Änderungen
ergeben können. Daher wird das alternierende Schema so lange fortgesetzt, bis die
Änderung der Prototypen oder der Zugehörigkeitsgrade eine vorgegebene kleine
Schranke unterschreitet.
Bei diesem Verfahren ist noch ein Sonderfall bei der Anwendung der Formel
(21.6) zu betrachten. Ist der Abstand eines Datums zu einem der Cluster null, so
wird der Nenner in der Formel (21.6) ebenfalls null. In diesem Fall sollte der Zuge-
hörigkeitsgrad des Datums zu dem Cluster mit Abstand null auf eins, der Zugehö-
rigkeitsgrad zu allen anderen Clustern auf null gesetzt werden. Sollte die Distanz ei-
nes Datums zu mehreren Clustern null sein, was beim FCM den pathologischen Fall
bedeuten würde, dass zwei Clusterzentren zusammenfallen, so werden die Zugehö-
rigkeitsgrade des Datums gleichmäßig auf die Cluster mit Abstand null aufgeteilt.
