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Algorithmus ergibt sich durch diese Modifikation keine Änderung, da die Zugehö-
rigkeitsgrade in diesem Fall nur die Werte 0 und 1 annehmen dürfen und das Po-
tenzieren dieser beiden Werte mit einer Zahl größer als 1 keinen Einfluss hat. Als zu
minimierende Zielfunktion für das
Fuzzy-c-Means-Clustering
(
FCM
)wirddaher
c
i
=1
k
j
=1
u
ij
v
i
x
j
2
F
(
U
,
V
;
X
)=
(21.2)
Gewählt. Dabei ist
U
=(
u
ij
) die Matrix aus den Zugehörigkeitsgraden und
V
=
(
v
1
,...,
v
c
)
die Matrix der Clusterprototypen.
v
i
x
j
2
ist der quadratische eu-
klidische Abstand des Datums
x
j
zum Cluster
v
i
.DabeiistdieseZielfunktionunter
den Nebenbedingungen
c
i
=1
u
ij
=
1
(
j
=
1, . . . ,
k
)
(21.3)
und
u
ij
0 (
i
{1, . . . ,
c
},
j
{1, . . . ,
k
}) (21.4)
zu minimieren. Die Nebenbedingung (21.3) erlaubt es, die Zugehörigkeitsgrade in
gewisser Weise auch als Wahrscheinlichkeiten zu interpretieren, weshalb man auch
von
probabilistischer Clusteranalyse
spricht.
Für die Zielfunktion (21.2) unter den Nebenbedingungen (21.3) und (21.4) erge-
ben sich dann die folgenden notwendigen Bedingungen für das Vorhandensein eines
Minimums:
k
j
=1
u
ik
·
x
j
k
j
=1
u
ik
v
i
=
(21.5)
1
u
ij
=
(21.6)
1
m
1
v
i
x
j
2
v
c
=1
x
j
2
Wären die Zugehörigkeitsgrade
u
ij
scharf, d. h.
u
ij
{0, 1},dannentsprächein
der Formel (21.5)
v
i
genau dem Schwerpunkt der Vektoren, die dem
i
-ten Cluster
zugeordnet sind: Im Zähler bewirken die
u
ij
,dassnurdieDatenaufaddiertwerden,
die dem Cluster zugeordnet sind, der Nenner ergibt genau die Anzahl der dem Clu-
ster zugeordneten Daten. Bei Zugehörigkeitsgraden
u
ij
[
0, 1
]
ergibt sich ein mit
den Zugehörigkeitsgraden gewichteter Schwerpunkt.
Die Formel (21.6) besagt, dass sich die Zugehörigkeitsgrade aus den relativen
Distanzen der Daten zu den Clustern ergeben. Damit erhält man für ein Datum den
größten Zugehörigkeitsgrad für das Cluster, zu dem es den geringsten Abstand hat.
An dieser Formel läßt sich auch der Einfluss des Fuzzifierrs
m
erklären. Für
m
folgt
u
ij
c
,d.h.,jedesDatumwirdjedemClustermit(nahezu)demselben
