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Selbst im Falle der Lösbarkeit des Systems von Fuzzy-Relationalgleichungen ist
nicht garantiert, dass das Maximum der kleinsten Lösungen (20.4) ebenfalls eine
Lösung ist. Sofern die Fuzzy-Relation, die sich aus dem Maximum der kleinsten Lö-
sungen der Einzelgleichungen ergibt, ebenfalls eine Lösung des Systems von Fuzzy-
Relationalgleichungen darstellt, ist sie auch gleichzeitig die kleinste Lösung des Sy-
stems.
Selbst wenn keine Lösung des Systems von Fuzzy-Relationalgleichungen exi-
stiert, lässt sich zeigen, dass das Minimum über die Gödelrelationen für die Lösung
der Einzelgleichungen eine gute approximative Lösung ergibt [Gottwald 1993].
20.2 Fuzzy-Regelsysteme und -Relationalgleichungen
Wir greifen noch einmal Fuzzy-Regeln der Form
If
x
1
is
µ
(1)
and . . . and
x
n
is
µ
(
n
)
R
:
R
R
then
y
is
µ
R
.
(20.5)
auf, die bereits am Anfang des Kapitels 19 eingeführt wurden.
Wir interpretieren ein Menge solcher Regeln als System von Fuzzy-Relationalglei-
chungen, indem wir die Eingabe-Fuzzy-Mengen
µ
(1)
R
,...,
µ
(
n
R
als eine Fuzzy-Menge
µ
X
über dem Produktraum der Eingangsgrößen
x
1
,...,
x
n
betrachten, wobei
µ
X
(
x
1
,...,
x
n
)=min
{
µ
(
1
)
(
x
1
),...,
µ
(
n
)
(
x
n
)
}
.
(20.6)
R
R
Auf diese Weise lässt sich eine Menge von Regeln der Form (20.5) als System von
Fuzzy-Relationalgleichungen interpretieren. Aus dem vorhergehenden Abschnitt
wissen wir, dass im Falle der Existenz einer Lösung über die Gödelrelation eine Lö-
sung in Form einer Fuzzy-Relation
des Systems von Fuzzy-Relationalgleichungen
berechnet werden kann. Wendet man
auf die Eingabe-Fuzzy-Mengen der Regeln
an, so erhält man jeweils die Ausgabe-Fuzzy-Menge der entsprechenden Regel. Die
Fuzzy-Relation
lässt sich natrlich auch auf andere Eingaben anwenden, insbeson-
dere auch auf scharfe Eingabewerte, die charakteristische Funktionen als Fuzzy-
Mengen interpretiert werden können. Ausgehend von den Regeln erhält man so
durch die Lösung
des assoziierten Systems von Fuzzy-Relationalgleichungen ei-
ne Berechnungsvorschrift, die für scharfen Eingaben, aber auch für Fuzzy-Mengen
einen Ausgabe-Fuzzy-Menge ermittelt.
Für logikbasierte Regler auf der Basis der Gödel-Implikation, wie sie in Kapi-
tel 19.4 beschrieben sind, stimmt die Berechnungsvorschrift für die Ausgabe-Fuzzy-
Menge mit der Berechnung auf der Grundlage der Lösung des Systems von Fuzzy-
Relationalgleichungen mit Hilfe der Gödel-Relation überein.
Entsprechendes gilt für den Mamdani-Regler und die mittels Maximum der Lö-
sungen (20.4) konstruierte Fuzzy-Relation. Ein entscheidender Unterschied zumAn-
satz auf Basis der Gödel-Relation besteht darin, dass die Gödel-Relation garantiert ei-
ne Lösung des Systems von Fuzzy-Relationalgleichungen ist, sofern überhaupt eine
Lösung existiert. Dies kann bei der Fuzzy-Relation auf der Grundlage von Gleichung
(20.4) und damit für den Mamdani-Regler nicht sichergestellt werden. Damit auch
