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Kapitel 20
Fuzzy-Relationalgleichungen
20.1 Lösbarkeit von Fuzzy-Relationalgleichungen
Wir betrachten Fuzzy-Regeln noch einmal aus der Sicht der Fuzzy-Relationen, die im
Kapitel 16 eingeführt wurden. Zunächst interessieren wir und nur für eine einfache
Regel der Form
R
: If
x
is
µ
(1
R
then
y
is
µ
R
. (20.1)
Wir interpretieren diese Regel in dem Sinne, dass wir eine Methode suchen, um
bei der unscharfen Eingabe in Form der Fuzzy-Menge
µ
(
1
R
als Ausgabe die Fuzzy-
Menge
µ
R
erhalten. Fuzzy-Relationen bieten eine Möglichkeit, Fuzzy-Mengen auf
Fuzzy-Mengen abzubilden. Wir suchen also eine Fuzzy-Relation
R
,diedieFuzzy-
Relationalgleichung
R
[
µ
(
1
R
]=
µ
R
(20.2)
löst. Sind die beiden Fuzzy-Mengen
µ
(1)
R
und
µ
R
normal, d. h. gibt es jeweils minde-
stens ein Element
x
und
y
,sodass
µ
(1
R
(
x
)=
1bzw.
µ
R
(
y
)=
1gilt,sogibtesimmer
eine Lösung dieser Fuzzy-Relationalgleichung. In diesem Fall ist die Fuzzy-Relation
ma
R
=
µ
(1)
µ
R
,
(20.3)
R
wobei
die Gödelimplikation ist. Daher wird diese Fuzzy-Relation auch Gödel-
Relationgenannt.
Die kleinste Lösung im Falle der Lösbarkeit ist die Fuzzy-Relation
min
R
=
µ
(1)
µ
R
,
(20.4)
R
wobei
durch das Minimum ausgewertet wird.
Sind mehrere Regeln der Form (20.1) gegeben und es wird eine Fuzzy-Relation
R
,diedasSystemdieserFuzzy-Relationalgleichungelöst,soreichtdieBedingung
der Normalität der Fuzzy-Mengen allein nicht mehr für eine Existenz der Lösung
aus. Wenn das System von Fuzzy-Relationalgleichungen überhaupt lösbar ist, so ist
das Minimum der Gödel-Relationen, die die einzelnen Fuzzy-Relationalgleichungen
lösen, ebenfalls eine Lösung. Sie ist dann auch gleichzeitig die größte Lösung.
