Fuzzy-Regelsysteme - Computational Intelligence - page 317

Satz 17.1 zu berechnen, die die Fuzzy-Mengen zumindest extensional machen, auch
wenn sie nicht unbedingt als extensionale Hüllen von Punkten interpretierbar sind.
In Klawonn u. Castro [1995] wurde u. a. folgendes für diese Ähnlichkeitsrelationen
gezeigt:

1. Die Ausgabe eines Mamdani-Reglers ändert sich nicht, wenn man anstelle ei-
nes scharfen Eingabewertes seine extensionale Hülle als Eingabe verwendet.

2. Die Ausgabe-Fuzzy-Menge eines Mamdani-Reglers ist immer extensional.

Dies bedeutet, dass die Ununterscheidbarkeit oder Unschärfe, die in den Fuzzy-
Partitionen inhärent kodiert ist, nicht überwunden werden kann. Dieser Zusammen-
hang zwischen Fuzzy-Reglern und Ähnlichkeitsrelationen kann auch dazu genutzt
werden, um effiziente Lernalgorithmen für Fuzzy-Regler zu entwerfen [Klawonn
2006].

19.4 Logikbasierte Regler

In diesem Abschnitt betrachten wir, welche Konsequenzen sich ergeben, wenn die
Regeln eines Fuzzy-Reglers im Sinne von logischen Implikationen interpretiert wer-
den. Wir haben bereits in Beispiel 16.13 gesehen, wie sich eine logische Inferenz mit
Hilfe einer Fuzzy-Relation modellieren lässt. Dieses Konzept soll jetzt für die Fuzzy-
Regelung verwendet werden. Zur Vereinfachung der Darstellung betrachten wir zu-
nächst nur Fuzzy-Regler mit jeweils einer Eingangs- und einer Ausgangsgröße. Die
Regeln haben die Form

If x is µ then y is .

Bei einer einzelnen Regel dieser Form und einem vorgegebenen Eingangswert x er-
halten wir eine Ausgabe-Fuzzy-Menge nach der Berechnungsvorschrift aus Beispiel
16.13. Genau wie bei dem Mamdani-Regler ergibt sich als Ausgabe-Fuzzy-Menge
exakt die Fuzzy-Menge ,wennderEingangswert x einen Zugehörigkeitsgrad von
Eins zur Fuzzy-Menge µ aufweist. Im Gegensatz zum Mamdani-Regler wird die
Ausgabe-Fuzzy-Menge umso größer, je schlechter der Prämisse zutrifft, d. h. je gerin-
ger der Wert µ ( x ) wird. Im Extremfall µ ( x )= 0erhaltenwiralsAusgabedieFuzzy-
Menge, die konstant Eins ist. Der Mamdani-Regler würde hier die Fuzzy-Menge, die
konstant Null ist, liefern. Bei einem logikbasierten Regler sollte die Ausgabe-Fuzzy-
Menge daher als Menge der noch möglichen Werte interpretiert werden. Wenn die
Prämisse überhaupt nicht zutrifft ( µ ( x )=0) kann aufgrund der Regel nichts ge-
schlossen werden und alle Ausgabewerte sind möglich. Trifft die Regel zu 100% zu
( µ ( x )=1), so sind nur noch die Werte aus der (unscharfen) Menge zulässig. Eine
einzelne Regel liefert daher jeweils eine Einschränkung aller noch möglichen Werte.
Da alle Regeln als korrekt (wahr) angesehen werden, müssen alle durch die Regeln
vorgegebenen Einschränkungen erfüllt sein, d. h. die resultierenden Fuzzy-Mengen
aus den Einzelregeln müssen im Gegensatz zum Mamdani-Regler miteinander ge-
schnitten werden.
Sind r Regeln der Form

R i : If x is µ R i then y is R i .

( i = 1, . . . , r )