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die vier in den Regeln lokal definierten Funktionen
y
=
x
,
y
=
1,
y
=
x
2und
y
=
3 wie in Abbildung 19.5 zu sehen jeweils exakt wiedergegeben. Wählen wir
leicht überlappende Fuzzy-Mengen, so berechnet das TSK-Modell die Funktion in
Abbildung 19.6. In Abbildung 19.7 wird schließlich das Resultat des TSK-Modells
dargestellt, das mit den noch stärker überlappenden Fuzzy-Mengen arbeitet.
Wir sehen somit, dass das TSK-Modell zu leichten Überschwingern führen kann
(Abbildung 19.6), selbst wenn die Fuzzy-Mengen nur eine geringfügige Überlap-
pung aufweisen. Bei Fuzzy-Mengen mit einer Überschneidung wie sie bei Mamdani-
Reglern durchaus üblich ist, erkennt man die einzelnen lokalen Funktionen über-
haupt nicht mehr (Abbildung 19.7).
Eine sinnvolle Strategie, diesen i. Allg. unerwünschten Effekt zu verhindern, be-
steht in der Vermeidung von Dreiecksfunktionen, die beim TSK-Modell besser durch
Trapezfunktionen ersetzt werden. Wählt man die Trapezfunktionen so, dass eine
Überlappung nur an den Flanken der Trapezfunktionen auftritt, wird das jeweilige
lokale Modell in den Bereichen mit Zugehörigkeitsgrad Eins exakt wiedergegeben.
19.3 Mamdani-Regler und Ähnlichkeitsrelationen
Bei der Einführung der Mamdani-Regler haben wir bereits gesehen, dass die da-
bei verwendeten Fuzzy-Regeln unscharfe Punkte auf dem Graphen der zu be-
schreibenden Regelungs- oder Übertragungsfunktion repräsentieren. Mit Hilfe der
Ähnlichkeitsrelationen aus dem Kapitel 17 lassen sich Fuzzy-Mengen, wie sie bei
Mamdani-Reglern auftreten, als unscharfe Punkte interpretieren. Diese Interpretati-
on des Mamdani-Reglers soll hier genauer untersucht werden.
19.3.1
Interpretation eines Reglers
Zunächst gehen wir davon aus, dass ein Mamdani-Regler vorgegeben ist. Wir setzen
weiterhin voraus, dass die Fuzzy-Mengen, die auf den Wertebereichen der Eingangs-
und Ausgangsgrößen definiert sind, die Voraussetzungen des Satzes 17.2 oder besser
noch des Satzes 17.3 erfüllen. In diesem Fall können Ähnlichkeitsrelationen berech-
net werden, so dass sich die Fuzzy-Mengen als extensionale Hüllen von einzelnen
Punkten interpretieren lassen.
Beispiel 19.1
Für einen Mamdani-Regler mit zwei Eingangsgrößen
x
und
y
und ei-
ner Ausgangsgröße
z
wird für die Eingangsgrößen jeweils die linke Fuzzy-Partition
aus Abbildung 19.8 und für die Ausgangsgröße die rechte Fuzzy-Partition aus Ab-
bildung 19.8 verwendet. Die Regelbasis besteht aus den vier Regeln
R
1
: If
x
is klein
and
y
is klein
then
z
is positiv
R
2
: If
x
is mittel
and
y
is klein
then
z
is null
R
3
: If
x
is mittel
and
y
is groß
then
z
is null
R
4
: If
x
is groß
and
y
is groß
then
z
is negativ
